Загрузка заданий...

Вариант 3410 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,4 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	спальня	кухня	гостиная
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 1, спальня — 2, кухня — 3, гостиная — 8.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, спальня, кухня, гостиная.

Следовательно, ответ: 1238.

Ответ: 1238

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 20 см на 20 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в санузле?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По плану площадь покрытия санузла составляет 36 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м, поэтому площадь равна 36 · 0,16 = 5,76 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м.

Нужно элементов: 5,76 / 0,04 = 144.

В одной упаковке 5 штук, значит понадобится 29 упаковок.

Ответ: 29.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь меньшей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

По плану площадь нужного помещения составляет 27 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.

Значит, площадь равна 27 · 0,16 = 4,32 кв. м.

Ответ: 4,32.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади кладовой?

Решение

Разбор: Задание 4 →

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 24) / 24) · 100% = 200%.

Ответ: 200.

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «800»	900 руб. за 800 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб
План «1000»	1 050 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	1 100 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 850 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 850 Мб?

Решение

Разбор: Задание 5 →

Считаем стоимость интернета при трафике 850 Мб:

План «800»: 900 + 50 · 2 = 1 000 руб.

План «1000»: 1 050 руб.

План «Безлимитный»: 1 100 руб.

Самым дешёвым оказывается План «800»: 1 000 руб.

Ответ: 1 000.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,07 - 0,03$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,07 - 0,03$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,07) - 0,03 = 0,04$.

Ответ: $0,04$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одно из чисел -0,05, $\frac{\sqrt{12}}{2}$, 2,573, $\frac{34}{9}$ отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.

В ответе укажите номер правильного варианта.

-0,05

$\frac{\sqrt{12}}{2}$

2,573

$\frac{34}{9}$

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -0,05 ≈ -0,05

2) $\frac{\sqrt{12}}{2}$ ≈ 1,7321

3) 2,573 ≈ 2,573

4) $\frac{34}{9}$ ≈ 3,7778

Точке A соответствует вариант 3.

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{11} \cdot \sqrt{33}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 6√3 · 2√11 · √33.

Перемножим коэффициенты: 6 · 2 = 12.

Подкоренные выражения дают: √3 · √11 · √33 = √(3·11·33) = √(1089) = 33.

Тогда всё выражение равно 12 · 33 = 396.

Ответ: 396.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 3x + 19 = 31

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: 3x + 19 = 31

Перенесём 19 в правую часть:

3x = 31 - 19

3x = 12

Разделим обе части на 3:

x = 12 / 3

x = 4

Ответ: 4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 50 билетов, Егор не выучил 47 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 3 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{3}{50}$ = 0,06.

Ответ: 0,06.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = \dfrac{9}{x}$

Б) $y = -\dfrac{1}{5}x - 5$

В) $y = -x^2 + 7x - 7$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 321.

Ответ: 321

12 Расчёты по формулам 1 балл

Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 8 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 392 джоулям. Ответ дайте в килограммах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).

m = 392/(9,8·8) = 5.

Ответ: 5.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 2)(x - 1) < 0

[-2;1]

(-2;1)

(-∞;-2) ∪ (1;+∞)

(-∞;-2] ∪ [1;+∞)

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -2 и x = 1. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 1 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 1) < 0 получаем решение (-2;1). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 28 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 28 минут пройдёт 4 промежутков по 7 минут.

Тогда масса станет равна 400·($\frac{1}{2}$)^4 = 25 мг.

Ответ: 25.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 15° и AK = CK.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

Так как AK = CK, треугольник AKC равнобедренный, значит ∠KAC = ∠ACK.

Но ∠ACK = ∠C = 15°.

Так как AK — биссектриса, ∠A = 2·15° = 30°.

Тогда ∠B = 180° - 30° - 15° = 135°.

Ответ: 135.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 108°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.

Поэтому ∠AOB = 180° - 108° = 72°.

Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.

Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 72° / 2 = 36°.

Ответ: 36.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 83°. Диагональ AC образует со стороной CD угол 145°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

Угол между диагональю AC и основанием AD равен 145° - (180° - 83°).

Получаем 145 - 97 = 48°.

Так как основания параллельны, угол с меньшим основанием такой же.

Ответ: 48.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →

Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.

По клеткам AC = 8.

Средняя линия равна 8 / 2 = 4.

Ответ: 4.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно: вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.

3) Неверно.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $18a-10b+27$, если $\dfrac{6a-8b+8}{8a-6b+8}=3$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $18a-10b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $6a-8b+8 = 3(8a-6b+8)$.

Шаг 2. Раскрываем: $6a-8b+8 = 24a-18b+24$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 18a-10b+16$, откуда $18a-10b = -16$.

Шаг 4. Вычисляем: $18a-10b+27 = -16+27 = 11$.

Ответ: 11.

Правильный ответ: 11

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 224 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал остановку на 2 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).

Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 2) км/ч.

Шаг 2. Время в пути одинаковое с учётом остановки:

224/x = 224/(x+2) + 2.

Шаг 3. Переносим и умножаем на x·(x+2): 2x² + 4x − 448 = 0.

Шаг 4. D = 3600, √D = 60. x = (−4+60)/(2·2) = 14.

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=-4-\dfrac{x+1}{x^2+1x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=-4-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=-1 $.

У функции $ y=-4-\frac1x $ нет значений $ y=-4 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=-3 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=-4; -3 $.

Ответ: -4; -3.

Правильный ответ: -4; -3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 30, CD = 40, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 20.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.

Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 20, полухорда = AB/2 = 15.

R² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625. R = 25.

Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 20.

d² = R² − 20² = 625 − 400 = 225. d = 15.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).

Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).

Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.

Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 8 и 6. Найдите основания трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.

Шаг 1. Углы 53° + 37° = 90° при одном основании.

При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.

Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:

• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.

• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.

Для данного случая: отрезки равны 8 и 6.

Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 8 и (b-a)/2 = 6 (или наоборот).

a+b = 16, b-a = 12.

b = 14, a = 2.

Ответ: 2; 14.

Правильный ответ: 2; 14

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.