Загрузка заданий...
Вариант 3495 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 297 | 210 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна \(\frac{1}{32}\) м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A1 равна половине площади A0: \(\frac{1}{2}\) м². Масса одного листа: 120 · \(\frac{1}{2}\) = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{5} : \frac{4}{5} : \frac{1}{6}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{5} : \frac{4}{5} : \frac{1}{6}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{5}) : \frac{4}{5} = \frac{1}{4}\).
Шаг 2: \((\frac{1}{4}) : \frac{1}{6} = \frac{3}{2}\).
Получили дробь \(\frac{3}{2}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(1,5\).
Ответ: \(1,5\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Укажите число, которое больше 0,08, но меньше \(\sqrt{5}\).
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа 0,08 и \(\sqrt{5}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (\(\sqrt{2}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$2\sqrt{10} \cdot 5\sqrt{11} \cdot \sqrt{110}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 2√10 · 5√11 · √110.
Перемножим коэффициенты: 2 · 5 = 10.
Подкоренные выражения дают: √10 · √11 · √110 = √(10·11·110) = √(12100) = 110.
Тогда всё выражение равно 10 · 110 = 1100.
Ответ: 1100.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 4 + 4(9x - 9) = -6x - 158
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 4 + 4(9x - 9) = -6x - 158
Раскроем скобки:
4 + 4(9x - 9) = -6x - 158
4 + 36x - 36 = -6x - 158
Приведём подобные слагаемые в левой части:
36x - 32 = -6x - 158
Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:
42x = -126
Разделим обе части на 42:
x = -126 / 42
x = -3
Ответ: -3
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 25 чашек: 8 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 17 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{17}{25}\) = 0,68.
Ответ: 0,68.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = -2x^2 - 10x - 13\)
Б) \(y = -\dfrac{9}{x}\)
В) \(y = \dfrac{1}{3}x + 1\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,09 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим V = 0,09 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,09 = 882.
Ответ: 882.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 6)(x - 7) < 0
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -6 и x = 7. На числовой прямой отмечаем точки -6 и 7 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 6)(x - 7) < 0 получаем решение (-6;7). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 19 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в девятом ряду амфитеатра?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 19, d = 2.
Найдём 9-й член: a9 = a₁ + (9 - 1)·d = 19 + 8·2 = 35.
Ответ: 35.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, AB = 20. Найдите sin B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.
sin B = AC / AB = \(\frac{6}{20}\) = 0,3.
Ответ: 0,3.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 33°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.
∠C = 180° - 33° = 147°.
Ответ: 147.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов прямоугольной трапеции равен 37°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
В прямоугольной трапеции два угла по 90°, а два других supplementary.
Искомый угол равен 180° - 37° = 143°.
Ответ: 143.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.
По клеткам AC = 6.
Средняя линия равна 6 / 2 = 3.
Ответ: 3.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5x^2+y^2=36,\\10x^2+2y^2=36x.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: умножим первое уравнение на 2 — левые части станут одинаковыми.
Шаг 1. Умножаем первое на 2: \(10x^2+2y^2=72\).
Шаг 2. По второму уравнению: \(10x^2+2y^2=36x\).
Шаг 3. Левые части равны — приравниваем правые:
\(72=36x\Rightarrow x=2\).
Шаг 4. Подставляем \(x=2\) в первое уравнение:
\(5\cdot4+y^2=36\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm4\).
Ответ: \((2;\,-4);\ (2;\,4)\).
Правильный ответ: (2;-4);(2;4)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 141 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 6 км/ч, за 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).
Шаг 1. Поезд и пешеход движутся в одном направлении. Относительная скорость:
141 − 6 = 135 км/ч.
Шаг 2. Переводим в м/с: 135 × 1000 / 3600 = \(\frac{75}{2}\) м/с.
Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 12 с, значит его длина:
\(\frac{75}{2}\) × 12 = 450 м.
Ответ: 450.
Правильный ответ: 450
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2+2,& x\ge -2,\\-\dfrac{6}{x},& x<-2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: (0;2)∪(6;+∞).
Ответ: (0;2)∪(6;+∞).
Правильный ответ: (0;2)∪(6;+∞)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 1. Найдите высоту ромба.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.
Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 12 + 1 = 13.
Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 13 и катетом DH = 12.
Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(13² − 12²) = √(25) = 5.
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.
Шаг 1. Углы DAC и DBC опираются на хорду DC и равны по условию.
По обратной теореме точки A, B, C, D лежат на одной окружности.
Шаг 2. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB.
Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 13.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 13² = 169, AD·BC = 36·12 = 432.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
Вычисление: R = 13.
Ответ: 13.
Правильный ответ: 13
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.