Загрузка заданий...

Вариант 3533 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,6 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	санузел
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 7, кладовая — 6, спальня — 1, санузел — 8.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, санузел.

Следовательно, ответ: 7618.

Ответ: 7618

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 60 см на 60 см продаётся в упаковках по 7 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол на обеих лоджиях?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По плану площадь покрытия обеих лоджий составляет 60 клеток.

Площадь одной клетки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м, поэтому площадь равна 60 · 0,36 = 21,6 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м.

Нужно элементов: 21,6 / 0,36 = 60.

В одной упаковке 7 штук, значит понадобится 9 упаковок.

Ответ: 9.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь кладовой. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

По плану площадь нужного помещения составляет 24 клетки.

Площадь одной клетки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м.

Значит, площадь равна 24 · 0,36 = 8,64 кв. м.

Ответ: 8,64.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади кладовой?

Решение

Разбор: Задание 4 →

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 24) / 24) · 100% = 200%.

Ответ: 200.

5 Задание 5 1 балл

Модель	Вместимость барабана (кг)	Тип загрузки	Стоимость (руб.)	Стоимость подключения (руб.)	Стоимость доставки (% от стоимости машины)	Габариты (высота × ширина × глубина, см)
А	7	верт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Б	5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 40
В	5	фронт.	25 000	5 000	10	85 × 60 × 40
Г	6,5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 44
Д	6	фронт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Е	6	верт.	27 600	2 300	бесплатно	89 × 60 × 40
Ж	6	верт.	27 585	1 900	10	89 × 60 × 40
З	6	фронт.	20 000	6 300	15	85 × 60 × 42
И	5	фронт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40
К	5	верт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40

В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с фронтальной загрузкой вместимостью не менее 6 кг. Какая стиральная машина, удовлетворяющая этим условиям, обойдётся дешевле всего с учётом доставки и подключения? В ответе запишите стоимость этой покупки в рублях.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.

Модель Г: 24 000 + 4 500 + доставка: 10% от 24 000 = 2 400 руб. = 30 900 руб.

Модель Д: 28 000 + 1 700 + доставка бесплатная = 29 700 руб.

Модель З: 20 000 + 6 300 + доставка: 15% от 20 000 = 3 000 руб. = 29 300 руб.

Наименьшая стоимость у модели З: 29 300 руб.

Ответ: 29 300.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{4} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{8}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{4} + \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{8}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{4}{5}) \cdot \frac{5}{8} = \frac{1}{2}$.

Шаг 2: $(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$.

Получили дробь $\frac{3}{4}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,75$.

Ответ: $0,75$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

-a > 5

a + 4 > 0

$\frac{1}{a} < 0$

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что -5 < a < -4.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

2) -a > 5 ⇔ a < -5 — неверно.

3) a + 4 > 0 ⇔ a > -4 — неверно.

4) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{10} \cdot \sqrt{100}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 5√10 · 4√10 · √100.

Перемножим коэффициенты: 5 · 4 = 20.

Подкоренные выражения дают: √10 · √10 · √100 = √(10·10·100) = √(10000) = 100.

Тогда всё выражение равно 20 · 100 = 2000.

Ответ: 2000.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -x - 4y = 21 \\ -2x - y = 21 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

-x - 4y = 21

-2x - y = 21

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -2, а второе — на -1.

Получим:

$(-x - 4y = 21) \cdot -2$: 2x + 8y = -42

$(-2x - y = 21) \cdot -1$: 2x + 1y = -21

Вычтем второе уравнение из первого:

7y = -21

y = -21 / 7 = -3

Подставим y = -3 в первое уравнение:

-x - 4y = 21

Получаем x = -9.

Ответ: (-9;-3)

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 10 чашек: 8 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 10.

Благоприятных исходов: 2 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{2}{10}$ = 0,2.

Ответ: 0,2.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = -3x^2 + 9x - 4$

Б) $y = \dfrac{2}{3}x - 5$

В) $y = -\dfrac{6}{x}$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2000 кг обладает кинетической энергией 289 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 289·1000 = 289 000 Дж.

v = √(2·289 000/2000) = 17.

Ответ: 17.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 8)(x - 10) ≤ 0

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -8 и x = 10. На числовой прямой отмечаем точки -8 и 10 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 8)(x - 10) <= 0 получаем решение [-8;10]. Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 480 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 10 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 480, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 10 см, а после 5-го уже меньше.

Ответ: 5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 29 · 23 = 667/2 = 333,5.

Ответ: 333,5.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 4√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Диагональ квадрата равна a√2.

Если a = 4√2, то d = 4√2 · √2 = 8.

Радиус описанной окружности равен половине диагонали.

R = d / 2 = 8 / 2 = 4.

Ответ: 4.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 29°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.

Следовательно, острый угол равен 2 · 29° = 58°.

Ответ: 58.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

По клеткам основание равно 5, высота равна 8.

S = 5 · 8 / 2 = 20.

Ответ: 20.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.

3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

Ответ: 12.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $x^2-2x+\sqrt{3-x}=\sqrt{3-x}+8$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в обеих частях стоит одно и то же слагаемое $\sqrt{3-x}$ — его можно сократить.

Шаг 1. Вычитаем $\sqrt{3-x}$ из обеих частей:

$x^2-2x=8$.

Шаг 2. Решаем квадратное уравнение:

$x^2-2x-8=0\Rightarrow(x-4)(x+2)=0$.

Корни: $x=4$ и $x=-2$.

Шаг 3. Проверяем ОДЗ. Под корнем $3-x\ge0$, значит $x\le3$.

Значение $x=4>3$ не подходит. Остаётся $x=-2$.

Ответ: $-2$.

Правильный ответ: -2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут дольше, чем вторая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 16) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/x мин, второй — 105/(x+16) мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:

105/x − 105/(x+16) = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x+16):

105·(x+16) − 105·x = 4·x·(x+16).

1680 = 4·x² + 64·x.

4x² + 64x − 1680 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.

x = (−64 + 176) / (2·4) = 14 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = $\frac{15}{2}$ мин, вторая — 105/30 = $\frac{7}{2}$ мин.

$\frac{15}{2}$ − $\frac{7}{2}$ = 4 = 4. ✓

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+4)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+4,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-4; 4; 5 $.

Ответ: $ -4; 4; 5 $.

Правильный ответ: -4; 4; 5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 1. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 12 + 1 = 13.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 13 и катетом DH = 12.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(13² − 12²) = √(25) = 5.

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 18, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 132° и 93°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 132° − 90° = 42°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 93° − 90° = 3°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 42° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 3° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 3° = 87°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 87° − 42° = 45°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(45°) = 18 / sin(45°) = 18√2.

Ответ: 18√2.

Правильный ответ: 18√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.