Загрузка заданий...
Вариант 3641 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 210 | 148 |
| 2 | 594 | 420 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 420 | 297 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A5 равна \(\frac{1}{32}\) м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{1} : 1,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{9}{5} \cdot \frac{1}{1} : 1,5\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{9}{5}) \cdot \frac{1}{1} = 1,8\).
Шаг 2: \((1,8) : 1,5 = 1,2\).
Получили результат \(1,2\).
Ответ: \(1,2\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -2 ≈ -2
2) \(\frac{\sqrt{17}}{2}\) ≈ 2,0616
3) \(\sqrt{13}\) ≈ 3,6056
4) \(\frac{35}{8}\) ≈ 4,375
Точке A соответствует вариант 2.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{6} - 4)(\sqrt{6} + 4)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√6 - 4)(√6 + 4).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√6)² - 4² = 6 - 16 = -10.
Ответ: -10.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 7x + 10 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Разбор: Квадратное уравнение →
Решим уравнение: x2 - 7x + 10 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -7, c = 10.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -7² - 4·1·10 = 9.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (7 - √9) / 2 = 2
x₂ = (7 + √9) / 2 = 5
Ответ: 2;5
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 29 чёрных, 9 жёлтых и 2 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 9 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{9}{40}\) = 0,225.
Ответ: 0,225.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k > 0, b > 0
2) k < 0, b < 0
3) k < 0, b > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 213.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,3 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим V = 0,3 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,3 = 2 940.
Ответ: 2 940.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-7x - 4 ≥ -x + 5
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -7x - 4 >= -x + 5.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -6x <= 9.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -6: x <= -1,5.
Значит, x меньше или равно -1,5.
Этому соответствует промежуток (-∞;-1,5].
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 8° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -6° C.
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Температура уменьшается равномерно на 8° C в минуту.
Через 4 минут изменение составит 8·4 = 32° C.
Итоговая температура: -6 - 32 = -38.
Ответ: -38.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 82°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
BH — высота, значит BH ⟂ AC.
Угол между AB и AC равен 82°.
Тогда угол между AB и BH равен 90° - 82° = 8°.
Ответ: 8.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Окружность касается обоих оснований трапеции.
Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.
h = 2r = 2 · 32 = 64.
Ответ: 64.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 12, BD = 20, AB = 7. Найдите DO.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Следовательно, DO = BD / 2 = 20 / 2 = 10.
Ответ: 10.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
По клеткам диагонали равны 4 и 6.
S = 4 · 6 / 2 = 12.
Ответ: 12.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{3}{x-1}-10=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=\frac{1}{x-1}\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+3t-10=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t+5)(t-2)=0\).
Корни: \(t_1=-5\), \(t_2=2\).
Шаг 3. Обратная замена \(x=1+\frac{1}{t}\):
Если \(t=-5\): \(x-1=-\dfrac{1}{5}\Rightarrow x=\dfrac{4}{5}\).
Если \(t=2\): \(x-1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne1\) — оба корня удовлетворяют.
Ответ: \(\dfrac{4}{5};\quad \dfrac{3}{2}\).
Правильный ответ: 4/5;3/2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два велосипедиста одновременно отправляются в 112-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 9 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения.
Шаг 1. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 9) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 4 ч раньше:
112/x − 112/(x+9) = 4.
Шаг 3. Умножаем на x·(x+9):
112·9 = 4·x·(x+9).
Шаг 4. Квадратное уравнение: 4x² + 36x − 1008 = 0.
Шаг 5. D = 17424, √D = 132.
x = (−36 + 132) / (2·4) = 12 (скорость второго).
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}-x^2-2x+3,& x\ge -2,\\-x-1,& x<-2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: (1;3)∪{4}.
Ответ: (1;3)∪{4}.
Правильный ответ: (1;3)∪{4}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 10, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 12 и 5.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 12² + (AB/2)² = 12² + 5² = 169. R = 13.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 5 от центра:
(CD/2)² = R² − 5² = 169 − 25 = 144.
CD/2 = 12.
Шаг 3. CD = 2 · 12 = 24.
Ответ: 24.
Правильный ответ: 24
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.
Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.
Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 12, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 115° и 95°.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.
Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.
Тогда AD = 2R (диаметр).
Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).
∠DBC = ∠B − 90° = 115° − 90° = 25°.
Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 95° − 90° = 5°.
Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 25° (вписанные углы на одну дугу CD).
∠ADB = ∠ACB = 5° (вписанные углы на одну дугу AB).
∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 5° = 85°.
Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 85° − 25° = 60°.
Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).
AD = BC / sin(60°) = 12 / sin(60°) = 8√3.
Ответ: 8√3.
Правильный ответ: 8√3
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.