Загрузка заданий...

Вариант 3685 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Володя летом отдыхает у дедушки в деревне Ёлочки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кленовое в магазин. Из деревни Ёлочки в село Кленовое можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Сосенки до деревни Жуки, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Кленовое. Есть и третий маршрут: в деревню Сосенки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу в село Кленовое, которая идёт мимо пруда. Шоссе и грунтовые дороги образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Володя с дедушкой едут со скоростью 80 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 4 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Жуки	Кленовое	Сосенки
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Ёлочки, промежуточная деревня на прямом шоссе — Сосенки, место поворота на другое шоссе — Жуки, конечный пункт — Кленовое.

Получаем соответствие: Ёлочки — 4, Сосенки — 2, Жуки — 3, Кленовое — 1.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Жуки, Кленовое, Сосенки.

Следовательно, ответ: 312.

Ответ: 312

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Володя с дедушкой от деревни Ёлочки до села Кленовое, если они поедут по шоссе через деревню Жуки?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Ёлочки до Жуки и от Жуки до Кленовое.

От Ёлочки до Жуки: 15 клеток · 4 км = 60 км.

От Жуки до Кленовое: 8 клеток · 4 км = 32 км.

Складываем: 60 + 32 = 92 км.

Ответ: 92.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Ёлочки до села Кленовое по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 8 клеток, по вертикали 15 клеток.

Значит, катеты равны 32 км и 60 км.

Это треугольник со сторонами 8–15–17, поэтому расстояние по прямой равно 68 км.

Ответ: 68.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Ёлочки в село Кленовое Володя с дедушкой, если они поедут по прямой грунтовой дороге?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 68 км.

Скорость по грунтовой дороге — 40 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 68 / 40 ч.

В минутах это 102 мин.

Ответ: 102.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Ёлочки	Кленовое	Сосенки	Жуки
Молоко (1 л)	47	36	45	40
Хлеб (1 батон)	31	28	32	25
Сыр «Российский» (1 кг)	274	265	264	275
Говядина (1 кг)	297	292	297	301
Картофель (1 кг)	31	17	29	17

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Ёлочки, селе Кленовое, деревне Сосенки и деревне Жуки. Володя с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Ёлочки: 2·47=94 + 3·31=93 + 2·297=594 + 4·31=124 + 1·274=274 = 1 179

Кленовое: 2·36=72 + 3·28=84 + 2·292=584 + 4·17=68 + 1·265=265 = 1 073

Сосенки: 2·45=90 + 3·32=96 + 2·297=594 + 4·29=116 + 1·264=264 = 1 160

Жуки: 2·40=80 + 3·25=75 + 2·301=602 + 4·17=68 + 1·275=275 = 1 100

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Кленовое": 1 073 руб.

Ответ: 1 073.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$6,25 + \frac{1}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $6,25 + \frac{1}{4}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(6,25) + \frac{1}{4} = 6,5$.

Получили результат $6,5$.

Ответ: $6,5$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a < 6

a - 7 < 0

a > 7

$\frac{1}{a} < 0$

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 6 < a < 7.

Проверим варианты ответа:

1) a < 6 ⇔ a < 6 — неверно.

2) a - 7 < 0 ⇔ a < 7 — верно.

3) a > 7 ⇔ a > 7 — неверно.

4) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$2\sqrt{11} \cdot 6\sqrt{5} \cdot \sqrt{55}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 2√11 · 6√5 · √55.

Перемножим коэффициенты: 2 · 6 = 12.

Подкоренные выражения дают: √11 · √5 · √55 = √(11·5·55) = √(3025) = 55.

Тогда всё выражение равно 12 · 55 = 660.

Ответ: 660.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{7}{x - 4} = -1$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: 7/(x - 4) = -1

Область допустимых значений: x != 4.

Умножим обе части уравнения на x - 4:

7 = -1(x - 4)

Раскроем скобки:

7 = -1x + 4

Перенесём число в левую часть:

3 = -1x

x = 3 / -1

x = -3

Проверка ОДЗ: x = -3, x != 4, условие выполняется.

Ответ: -3

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cap B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Всего исходов: 40. Вероятность события $A \cap B$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=2/40=0,05$.

Ответ: 0,05

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \dfrac{2}{x}$

Б) $y = -x$

В) $y = -2x^2 + 4x$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,4 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим V = 0,4 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,4 = 3 920.

Ответ: 3 920.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 5)(x - 2) < 0

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -5 и x = 2. На числовой прямой отмечаем точки -5 и 2 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 5)(x - 2) < 0 получаем решение (-5;2). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 400 мг. Найдите массу изотопа через 45 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 400 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 45 минут пройдёт 5 промежутков по 9 минут.

Тогда масса станет равна 400·($\frac{1}{2}$)^5 = 12,5 мг.

Ответ: 12,5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 17. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 8 · 17 = 136/2 = 68.

Ответ: 68.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 62°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.

∠AOB = 2 · 62° = 124°.

Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.

Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.

∠AOD = 180° - 124° = 56°.

Ответ: 56.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание равно 3 + 4 = 7.

S = 7 · 4 = 28.

Ответ: 28.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

По клеткам основания равны 4 и 10, высота равна 4.

S = (4 + 10) / 2 · 4 = 28.

Ответ: 28.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Существует квадрат, который не является прямоугольником.

Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Все диаметры окружности равны между собой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{x-2}-6=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: делаем замену $t=\frac{1}{x-2}$ — сводим к квадратному.

Шаг 1. После замены $\frac{1}{(x-2)^2}=t^2$. Уравнение:

$t^2-t-6=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t-3)(t+2)=0$.

Корни: $t_1=3$, $t_2=-2$.

Шаг 3. Обратная замена. Из $\frac{1}{x-2}=t$ получаем $x=2+\frac{1}{t}$.

Если $t=3$: $x-2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{7}{3}$.

Если $t=-2$: $x-2=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne2$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $\dfrac{3}{2};\quad \dfrac{7}{3}$.

Правильный ответ: 3/2;7/3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 200 литров она заполняет на 2 минут дольше, чем вторая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 5) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 200/x мин, второй — 200/(x+5) мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 2 мин дольше:

200/x − 200/(x+5) = 2.

Шаг 4. Умножаем на x(x+5):

200·(x+5) − 200·x = 2·x·(x+5).

1000 = 2·x² + 10·x.

2x² + 10x − 1000 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 10² + 4·2·1000 = 100 + 8000 = 8100, √D = 90.

x = (−10 + 90) / (2·2) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 200/20 = 10 мин, вторая — 200/25 = 8 мин.

10 − 8 = 2 = 2. ✓

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{7x-5}{7x^2-5x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=5/7 $.

Пересечение с прямой $ y=kx $ задаётся уравнением $ \frac1x = kx $, то есть $ x^2=\frac1k $.

Обычно при $ k>0 $ получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.

Это происходит при $ x=5/7 $, откуда $ k=49/25 $.

Ответ: $\frac{49}{25}$.

Правильный ответ: 49/25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 9, а сторона BC в 1,8 раза меньше стороны AB.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.

Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. KP/BC = AP/AB.

По условию BC в 1,8 раза меньше AB, то есть AB = 1,8·BC.

KP = AP · BC/AB = AP / 1,8 = 9 / 1,8 = 5.

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы MA и NB к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ MA ∥ NB.

Шаг 2. В треугольниках TMA и TNB (T — точка на MN):

∠ATM = ∠BTN (вертикальные), MA ∥ NB ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TM/TN = r:s.

Шаг 3. TM/TN = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как r:s. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 40 и CD = 10 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.

Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.

По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.

⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.

Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).

α + β = 60°.

Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.

AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.

Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).

При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.

AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).

Шаг 5. 40² + 10² + 40·10 = 3R².

2100 = 3R² ⟹ R² = 2100/3.

R = 10√7.

Ответ: 10√7.

Правильный ответ: 10√7

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.