Загрузка заданий...

Вариант 3684 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,8 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	санузел	спальня	гостиная
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 4, санузел — 7, спальня — 5, гостиная — 8.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, санузел, спальня, гостиная.

Следовательно, ответ: 4758.

Ответ: 4758

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 20 см на 20 см продаётся в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в кладовой?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По плану площадь покрытия кладовой составляет 24 клетки.

Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м, поэтому площадь равна 24 · 0,64 = 15,36 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,2 · 0,2 = 0,04 кв. м.

Нужно элементов: 15,36 / 0,04 = 384.

В одной упаковке 6 штук, значит понадобится 64 упаковки.

Ответ: 64.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь гостиной. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

По плану площадь нужного помещения составляет 154 клетки.

Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м.

Значит, площадь равна 154 · 0,64 = 98,56 кв. м.

Ответ: 98,56.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь санузла больше площади кладовой?

Решение

Разбор: Задание 4 →

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 36 клеток, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((36 − 24) / 24) · 100% = 50%.

Ответ: 50.

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «600»	650 руб. за 600 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб
План «900»	820 руб. за 900 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб
План «Безлимитный»	950 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 1000 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 1000 Мб?

Решение

Разбор: Задание 5 →

Считаем стоимость интернета при трафике 1000 Мб:

План «600»: 650 + 400 · 2 = 1 450 руб.

План «900»: 820 + 100 · 1,5 = 970 руб.

План «Безлимитный»: 950 руб.

Самым дешёвым оказывается План «Безлимитный»: 950 руб.

Ответ: 950.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{9}{4} : \frac{3}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{9}{4} : \frac{3}{4}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{9}{4}) : \frac{3}{4} = \frac{3}{1}$.

Получили дробь 3.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $3$.

Ответ: $3$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -4,84 до $-\frac{131}{40}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-5

1,04

$-\frac{209}{50}$

$-\frac{1}{40}$

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа -4,84 и $-\frac{131}{40}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 ($-\frac{209}{50}$) лежит между этими числами.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{48} + \sqrt{27})\sqrt{3}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√48 + √27)·√3.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √48 = 4√3, √27 = 3√3.

Тогда получаем (4√3 + 3√3)·√3 = 7√3·√3.

Так как √3·√3 = 3, имеем 7·3 = 21.

Ответ: 21.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -7x + 2y = 24 \\ -8x - 2y = 36 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

-7x + 2y = 24

-8x - 2y = 36

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -8, а второе — на -7.

Получим:

$(-7x + 2y = 24) \cdot -8$: 56x - 16y = -192

$(-8x - 2y = 36) \cdot -7$: 56x + 14y = -252

Вычтем второе уравнение из первого:

-30y = 60

y = 60 / -30 = -2

Подставим y = -2 в первое уравнение:

-7x + 2y = 24

Получаем x = -4.

Ответ: (-4;-2)

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события A.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Всего исходов: 36. Вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=18/36=0,5$.

Ответ: 0,5

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a > 0, c > 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 132.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,02 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим V = 0,02 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,02 = 196.

Ответ: 196.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 1)(x - 10) > 0

(-∞;-1) ∪ (10;+∞)

[-1;10]

(10;+∞)

(-1;10)

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -1 и x = 10. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 10 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 10) > 0 получаем решение (-∞;-1) ∪ (10;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 450 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 450, q = $\frac{1}{2}$.

Проверяем последовательно: после 5-го отскока высота ещё не меньше 25 см, а после 6-го уже меньше.

Ответ: 6.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике два угла равны 48° и 90°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

Сумма углов треугольника равна 180°.

Третий угол равен 180° - 48° - 90° = 42°.

Ответ: 42.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 54°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.

Следовательно, ∠CBD = 60°.

Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.

Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 54° - 60° = -6°.

Ответ: -6.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 28° и 67°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.

Искомый угол равен 180° - 28° - 67° = 85°.

Ответ: 85.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 9 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.

Ответ: 15.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Боковые стороны любой трапеции равны.

Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно: это формула площади параллелограмма, частный случай — ромб.

2) Неверно.

3) Верно: иначе сумма трёх углов была бы больше 180°.

Ответ: 13.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $\frac{-16}{(x+2)^2-5}\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: числитель $-16<0$, дробь $\ge0$ только при отрицательном знаменателе.

Шаг 1. Условие: $(x+2)^2-5<0$.

Шаг 2. $(x+2)^2<5$.

Шаг 3. $-\sqrt{5}<x+2<\sqrt{5}$.

Шаг 4. Вычитаем 2: $-2-\sqrt{5}<x<-2+\sqrt{5}$.

Ответ: $(-2-\sqrt{5};\; -2+\sqrt{5})$.

Правильный ответ: (-2-√5;-2+√5)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 81% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Свежие фрукты содержат 81% воды, значит сухого вещества 19%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 420 кг свежих фруктов:

420 · 19/100 = 79,8 кг.

Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.

Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,84·x = 79,8.

x = 79,8 / 0,84 = 95 кг.

Ответ: 95.

Правильный ответ: 95

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=-5-\dfrac{x-1}{x^2-1x} $. Определите, при каких значениях m прямая $ y=m $ не имеет с графиком общих точек.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.

Получаем график функции $ y=-5-\frac1x $, но с выколотой точкой при $ x=1 $.

У функции $ y=-5-\frac1x $ нет значений $ y=-5 $.

Из-за выколотой точки также отсутствует значение $ y=-6 $.

Следовательно, прямая $ y=m $ не имеет общих точек с графиком при $ m=-6; -5 $.

Ответ: -6; -5.

Правильный ответ: -6; -5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 13.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.

Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.

Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).

Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.

Шаг 2. AB = BK = 9.

Шаг 3. BC = BK + CK = 9 + 13 = 22.

Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(9 + 22) = 62.

Ответ: 62.

Правильный ответ: 62

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые IJ и AB перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. IA = IB (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка I равноудалена от A и B

⟹ I лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

Шаг 2. JA = JB (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка J тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая IJ совпадает с серединным перпендикуляром к AB.

Следовательно, IJ ⟂ AB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.

Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 3 (радиус вписанной окружности).

Шаг 2. dist(O, AD) = 4. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.

dist(O, AB) = r = 3 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).

Шаг 3. OA = 5 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:

Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).

Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.

Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·3 = 6.

Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).

Площадь = BC · h = ... = 168.

Ответ: 168.

Правильный ответ: 168

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.