Загрузка заданий...
Вариант 3720 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 210 | 148 |
| 2 | 594 | 420 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 420 | 297 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A5 равна \(\frac{1}{32}\) м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,1 + 3,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,1 + 3,5\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,1) + 3,5 = 3,6\).
Ответ: \(3,6\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от 0,875 до \(\sqrt{8}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа 0,875 и \(\sqrt{8}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (\(\sqrt{5}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{75} + \sqrt{27})\sqrt{3}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√75 + √27)·√3.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √75 = 5√3, √27 = 3√3.
Тогда получаем (5√3 + 3√3)·√3 = 8√3·√3.
Так как √3·√3 = 3, имеем 8·3 = 24.
Ответ: 24.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 5x - 14 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Разбор: Квадратное уравнение →
Решим уравнение: x2 - 5x - 14 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -5, c = -14.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -5² - 4·1·-14 = 81.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (5 - √81) / 2 = -2
x₂ = (5 + √81) / 2 = 7
Ответ: -2;7
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 40 чашек: 15 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 25 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{25}{40}\) = 0,625.
Ответ: 0,625.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 3\)
Б) \(y = -\dfrac{1}{2}x - 4\)
В) \(y = \dfrac{1}{2}x + 4\)
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 123.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -103 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t_F = -103 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(-103 − 32)/9 = -75.
Ответ: -75.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
(x + 5)(x - 9) < 0
1
2
3
4
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -5 и x = 9. На числовой прямой отмечаем точки -5 и 9 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 5)(x - 9) < 0 получаем решение (-5;9). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,3 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 7 секунд движения?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,3, d = 0,1, n = 7.
Сумма первых 7 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4,2.
Ответ: 4,2.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 18 и 7. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = \(\frac{1}{2}\) · 18 · 7 = 126/2 = 63.
Ответ: 63.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона квадрата равна 16√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Диагональ квадрата равна a√2.
Если a = 16√2, то d = 16√2 · √2 = 32.
Радиус описанной окружности равен половине диагонали.
R = d / 2 = 32 / 2 = 16.
Ответ: 16.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 13, AB = 45. Найдите AC.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
Значит, BD = 2·BO = 2·13 = 26.
Так как AC = BD, получаем:
AC = 26.
Ответ: 26.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 8 и 6.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.
Ответ: 10.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(x^2-3x+\sqrt{3-x}=\sqrt{3-x}+10\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сокращаем \(\sqrt{3-x}\) из обеих частей.
Шаг 1. После сокращения:
\(x^2-3x=10\).
Шаг 2. Решаем:
\(x^2-3x-10=0\Rightarrow(x-5)(x+2)=0\).
Корни: \(x=5\) и \(x=-2\).
Шаг 3. ОДЗ: \(3-x\ge0\Rightarrow x\le3\). Значит \(x=5\) не подходит.
Ответ: \(-2\).
Правильный ответ: -2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 81% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 81% воды, значит сухого вещества 19%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 420 кг свежих фруктов:
420 · 19/100 = 79,8 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,84·x = 79,8.
x = 79,8 / 0,84 = 95 кг.
Ответ: 95.
Правильный ответ: 95
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}-x^2-4x+1,& x\ge -3,\\-x-2,& x<-3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: (1;4)∪{5}.
Ответ: (1;4)∪{5}.
Правильный ответ: (1;4)∪{5}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 15, BF = 8.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.
Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).
Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.
Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.
Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(15² + 8²) = √289 = 17.
Ответ: 17.
Правильный ответ: 17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. BB₁ — высота, поэтому ∠BB₁C = 90°. Значит из точки B₁ отрезок BC виден под прямым углом, и B₁ лежит на окружности с диаметром BC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠BC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром BC.
Шаг 3. Итак, точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠BB₁C₁ и ∠BCC₁ опираются на одну и ту же дугу BC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 18 и 40 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √5/3.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 18 · 40 = 720.
AT = √720.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 22 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{5}{3}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
Вычисление даёт r = 13,5.
Ответ: 13,5.
Правильный ответ: 13,5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.