Загрузка заданий...

Вариант 3733 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Грушёвка. В понедельник они собираются съездить на велосипедах в село Абрамово на ярмарку. Из деревни Грушёвка в село Абрамово можно проехать по прямой лесной дорожке. Есть более длинный путь: по прямолинейному шоссе через деревню Таловка до деревни Новая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в село Абрамово. Есть и третий маршрут: в деревню Таловка можно свернуть на прямую тропинку в село Абрамово, которая идёт мимо пруда. Лесная дорожка и тропинка образуют с шоссе прямоугольные треугольники.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 15 км/ч, а по лесной дорожке и тропинке — 12 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

1 Задание 1 1 балл

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Населённые пункты	Новая	Абрамово	Таловка
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

По описанию восстанавливаем маршруты на плане.

Точка отправления Грушёвка, промежуточная деревня на прямом шоссе — Таловка, место поворота на другое шоссе — Новая, конечный пункт — Абрамово.

Получаем соответствие: Грушёвка — 1, Таловка — 4, Новая — 3, Абрамово — 2.

В таблице населённые пункты стоят в порядке: Новая, Абрамово, Таловка.

Следовательно, ответ: 324.

Ответ: 324

2 Задание 2 1 балл

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой от деревни Грушёвка до села Абрамово, если они поедут по шоссе через деревню Новая?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По шоссе путь состоит из двух участков: от Грушёвка до Новая и от Новая до Абрамово.

От Грушёвка до Новая: 16 клеток · 2 км = 32 км.

От Новая до Абрамово: 12 клеток · 2 км = 24 км.

Складываем: 32 + 24 = 56 км.

Ответ: 56.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от деревни Грушёвка до села Абрамово по прямой. Ответ дайте в километрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

Получается прямоугольный треугольник: по горизонтали 12 клеток, по вертикали 16 клеток.

Значит, катеты равны 24 км и 32 км.

Это треугольник со сторонами 12–16–20, поэтому расстояние по прямой равно 40 км.

Ответ: 40.

4 Задание 4 1 балл

Сколько минут затратят на дорогу из деревни Грушёвка в село Абрамово Гриша с дедушкой, если они поедут по прямой лесной дорожке?

Решение

Разбор: Задание 4 →

По прямой расстояние равно 40 км.

Скорость по лесной дорожке — 12 км/ч.

Время = расстояние / скорость = 40 / 12 ч.

В минутах это 200 мин.

Ответ: 200.

5 Задание 5 1 балл

Наименование продукта	Грушёвка	Абрамово	Таловка	Новая
Молоко (1 л)	47	54	58	51
Хлеб (1 батон)	39	24	43	27
Сыр «Российский» (1 кг)	258	244	251	255
Говядина (1 кг)	335	333	325	324
Картофель (1 кг)	17	27	22	21

В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в деревне Грушёвка, селе Абрамово, деревне Таловка и деревне Новая. Гриша с дедушкой хотят купить 2 л молока, 3 батона хлеба, 1 кг сыра «Российский», 2 кг говядины, 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Посчитаем стоимость набора в каждом магазине:

Грушёвка: 2·47=94 + 3·39=117 + 2·335=670 + 4·17=68 + 1·258=258 = 1 207

Абрамово: 2·54=108 + 3·24=72 + 2·333=666 + 4·27=108 + 1·244=244 = 1 198

Таловка: 2·58=116 + 3·43=129 + 2·325=650 + 4·22=88 + 1·251=251 = 1 234

Новая: 2·51=102 + 3·27=81 + 2·324=648 + 4·21=84 + 1·255=255 = 1 170

Самая маленькая стоимость получается в магазине "Новая": 1 170 руб.

Ответ: 1 170.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,2 - 0,006$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,2 - 0,006$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,2) - 0,006 = 0,194$.

Ответ: $0,194$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами $-\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{2}$?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\sqrt{8}$

$\frac{437}{100}$

$\frac{21}{25}$

-4,2

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа $-\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{2}$. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 ($\frac{21}{25}$) лежит между этими числами.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(4\sqrt{2})^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (4√2)².

Используем свойство степени произведения: (4√2)² = 4² · (√2)².

Получаем 16 · 2 = 32.

Ответ: 32.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 5x - 24 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² - 5x - 24 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -5, c = -24.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -5² - 4·1·-24 = 121.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (5 - √121) / 2 = -3

x₂ = (5 + √121) / 2 = 8

Ответ: -3;8

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события $A \cup \overline{B}$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Всего исходов: 40. Вероятность события $A \cup \overline{B}$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=28/40=0,7$.

Ответ: 0,7

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = -\dfrac{1}{5}x - 5$

Б) $y = \dfrac{9}{x}$

В) $y = -x^2 + 7x - 7$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ – длины диагоналей четырёхугольника, α – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 17, sinα = 0,333, а S = 11,333.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы S = d₁d₂sinα / 2 выразим d₂: d₂ = 2S/(d₁sinα).

d₂ = 2·11,333/(17·0,333) = 4.

Ответ: 4.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-5x + 2 < x - 10

(0;+∞)

(-3;+∞)

(-2;+∞)

(2;+∞)

Решение

Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →

Решим неравенство: -5x + 2 < x - 10.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -6x > -12.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -6: x > 2.

Значит, x больше 2.

Этому соответствует промежуток (2;+∞).

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в двенадцатом ряду амфитеатра?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 25, d = 3.

Найдём 12-й член: a12 = a₁ + (12 - 1)·d = 25 + 11·3 = 58.

Ответ: 58.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 5/6, AB = 18. Найдите BC.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.

Значит, BC = AB · cos B = 18 · $\frac{5}{6}$ = 15.

Ответ: 15.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 23°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.

∠AOB = 2 · 23° = 46°.

Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.

Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.

∠AOD = 180° - 46° = 134°.

Ответ: 134.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 28° и 64°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.

Искомый угол равен 180° - 28° - 64° = 88°.

Ответ: 88.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 6 и 2.

Искомое отношение площадей равно (6 / 2)² = 9.

Ответ: 9.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Существует квадрат, который не является прямоугольником.

Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.

Все диаметры окружности равны между собой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $27a-33b+16$, если $\dfrac{8a-7b+2}{7a-8b+2}=5$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $27a-33b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $8a-7b+2 = 5(7a-8b+2)$.

Шаг 2. Раскрываем: $8a-7b+2 = 35a-40b+10$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 27a-33b+8$, откуда $27a-33b = -8$.

Шаг 4. Вычисляем: $27a-33b+16 = -8+16 = 8$.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 18 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 10 км/ч меньше скорости второго.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.

Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 10) км/ч.

Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 4 км.

Длина круга = x + 4 км.

Шаг 3. Второй пробежал круг 18 мин назад, то есть за (1 − $\frac{18}{60}$) = 0,7 ч.

Длина круга = (x + 10) · 0,7 км.

Шаг 4. Приравниваем: x + 4 = (x + 10) · 0,7.

Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 10 км/ч.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+6,25)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+6,25),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-7,25; -5; 5 $.

Ответ: $ -7,25; -5; 5 $.

Правильный ответ: -7,25; -5; 5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 26, AC = 91, NC = 40.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.

Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = $\frac{26}{91}$ = $\frac{2}{7}$.

Шаг 2. Из подобия: BN/BC = $\frac{2}{7}$, то есть BN = 2·BC/7.

Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 40.

Подставляем: BN = 2·(BN + 40)/7.

7·BN = 2·BN + 2·40.

(7−2)·BN = 80 ⟹ BN = 80/(7−2) = 16.

Ответ: 16.

Правильный ответ: 16

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне CD. Докажите, что точка K равноудалена от прямых AB, BC и AD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Шаг 1. Точка K лежит на биссектрисе угла A.

⟹ расстояние от K до обеих сторон угла A одинаково.

Шаг 2. Точка K лежит на биссектрисе угла B.

⟹ расстояние от K до обеих сторон угла B одинаково.

Шаг 3. Объединяя: расстояние от K до каждой из прямых AB, BC и AD одинаково. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5 : 3, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 16.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.

Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.

BF : FH = 5 : 3 (дано).

Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.

Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.

В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.

Шаг 3. Из отношения BF:FH = 5:3:

tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.

BF/FH = $\frac{5}{3}$ ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = $\frac{5}{3}$.

Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:

sin A = 2·3/(5+3) · ... = BC/(2R).

Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 16/(2·sin A) = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.