Загрузка заданий...
Вариант 3824 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 210 | 148 |
| 2 | 594 | 420 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 420 | 297 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A5 равна \(\frac{1}{32}\) м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{6}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{6}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{2}) \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{4}\).
Шаг 2: \((\frac{1}{2}) + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
Получили дробь \(\frac{3}{4}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,75\).
Ответ: \(0,75\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -3 и -2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-37}{9}\) ≈ -4,1111
2) -2,37 ≈ -2,37
3) \(\frac{-15}{7}\) ≈ -2,1429
4) \(\sqrt{20}\) ≈ 4,4721
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$2^{-2} \cdot (2^4)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 2^(-2) · (2^4)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^4)^2 = 2^8.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 2^-2 · 2^8 = 2^6.
Получаем 2^6 = 64.
Ответ: 64.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 6x + 7y = -59 \\ 6x - y = -19 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
6x + 7y = -59
6x - y = -19
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 6, а второе — на 6.
Получим:
\((6x + 7y = -59) \cdot 6\): 36x + 42y = -354
\((6x - y = -19) \cdot 6\): 36x - 6y = -114
Вычтем второе уравнение из первого:
48y = -240
y = -240 / 48 = -5
Подставим y = -5 в первое уравнение:
6x + 7y = -59
Получаем x = -4.
Ответ: (-4;-5)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Оскар не выучил 41 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 9 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{9}{50}\) = 0,18.
Ответ: 0,18.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k > 0, b > 0
2) k > 0, b < 0
3) k < 0, b < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 321.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 30 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 1 470 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 1 470/(9,8·30) = 5.
Ответ: 5.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} -1,8 − 2x < 14,2 \\ x − 1 > -8 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-7;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 3 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 3, q = 3.
За 80 минут пройдёт 4 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 3·3^4 = 243 мг.
Ответ: 243.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 21 и 29 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
По теореме Пифагора квадрат неизвестного катета равен разности квадрата гипотенузы и квадрата известного катета.
x² = 29² - 21² = 841 - 441 = 400.
Значит, x = 20.
Ответ: 20.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 11√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Для равностороннего треугольника R = a√3 / 3.
Значит, a = 3R / √3 = 3 · 11√3 / √3 = 33.
Ответ: 33.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 34°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.
Следовательно, острый угол равен 2 · 34° = 68°.
Ответ: 68.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка BM?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.
M делит AB: вектор AM=(2,25; 4,5)=\(\frac{3}{4}\)·AB=(3,6). AM=3·BM.
Ответ: 3.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-2)^2<\sqrt{3}(x-2)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести \((x-2)\).
Шаг 1. Переносим: \((x-2)^2-\sqrt{3}(x-2)<0\).
Шаг 2. Выносим: \((x-2)\bigl[(x-2)-\sqrt{3}\bigr]<0\).
Шаг 3. Нули: \(x=2\) и \(x=2+\sqrt{3}\).
Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.
Ответ: \((2;\; 2+\sqrt{3})\).
Правильный ответ: (2;2+√3)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/36 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/99 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/36 + S/99) = 2 / (\(\frac{1}{36}\) + \(\frac{1}{99}\)).
Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·36·99 / (36 + 99) = 7128 / 135 = 52,8 км/ч.
Ответ: 52,8.
Правильный ответ: 52,8
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| + 5\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x + 5.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x + 5.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 5. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 5.
Проверка: при m = 5 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 18.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: BPHK — прямоугольник, поэтому BH = PK.
Шаг 1. BH — диаметр ⟹ ∠BPH = ∠BKH = 90° (вписанный угол на диаметр).
Шаг 2. Четырёхугольник BPHK — прямоугольник, значит BH = PK (противоположные стороны).
BH = PK = 18.
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.
Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 18, а расстояние от точки K до стороны AB равно 6.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.
Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.
Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.
В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.
Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:
dist(K, AB) = dist(K, AD) = 6.
Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:
dist(K, AB) = dist(K, BC) = 6.
Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:
dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 6 + 6 = 12.
Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 18 · 12 = 216.
Ответ: 216.
Правильный ответ: 216
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.