Загрузка заданий...
Вариант 3869 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 297 | 210 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна \(\frac{1}{32}\) м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A1 равна половине площади A0: \(\frac{1}{2}\) м². Масса одного листа: 120 · \(\frac{1}{2}\) = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$1,2 - \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(1,2 - \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{10}) \cdot \frac{2}{5} = 0,04\).
Шаг 2: \((1,2) - 0,04 = 1,16\).
Получили результат \(1,16\).
Ответ: \(1,16\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что -4 < a < -3.
Проверим варианты ответа:
1) a > -4 ⇔ a > -4 — верно.
2) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
3) a + 3 > 0 ⇔ a > -3 — неверно.
4) a < -4 ⇔ a < -4 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√5 - 3)(√5 + 3).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√5)² - 3² = 5 - 9 = -4.
Ответ: -4.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -2x - 8y = 34 \\ -3x - 4y = 3 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-2x - 8y = 34
-3x - 4y = 3
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -3, а второе — на -2.
Получим:
\((-2x - 8y = 34) \cdot -3\): 6x + 24y = -102
\((-3x - 4y = 3) \cdot -2\): 6x + 8y = -6
Вычтем второе уравнение из первого:
16y = -96
y = -96 / 16 = -6
Подставим y = -6 в первое уравнение:
-2x - 8y = 34
Получаем x = 7.
Ответ: (7;-6)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.8 и 0.2: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.25, по нижнему 0.625.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.8 · 0.25 = 0.2.
Нижний путь: 0.2 · 0.625 = 0.125.
Складываем: 0.2 + 0.125 = 0.325.
Ответ: 0,325
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) \(y = -3x - 3\)
2) \(y = 3x - 2\)
3) \(y = -x + 2\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 321.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м3 – плотность воды, g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,6 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим V = 0,6 в формулу F = ρgV.
F = 1000·9,8·0,6 = 5 880.
Ответ: 5 880.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
2x - 10 ≤ -3x + 3
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: 2x - 10 <= -3x + 3.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 5x <= 13.
Делим обе части на 5: x <= 2,6.
Значит, x меньше или равно 2,6.
Этому соответствует промежуток (-∞;2,6].
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,3 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,4 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 9 секунд движения?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,3, d = 0,4, n = 9.
Сумма первых 9 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 17,1.
Ответ: 17,1.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 14 и 5. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = \(\frac{1}{2}\) · 14 · 5 = \(\frac{70}{2}\) = 35.
Ответ: 35.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 3. Найдите площадь квадрата ABCD.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Пусть сторона квадрата равна a. Тогда O — середина стороны CD.
По теореме Пифагора OA² = a² + (a/2)² = 5a²/4.
Следовательно, OA = a√5 / 2.
По условию OA = 3, значит a = 6/√5.
Площадь квадрата равна a² = 7,2.
Ответ: 7,2.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Периметр ромба равен 12, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Сторона ромба равна 12 / 4 = 3.
Площадь ромба равна a²·sin α.
S = 3² · sin 30° = 3² · \(\frac{1}{2}\) = 4,5.
Ответ: 4,5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 2 и 8.
m = (2 + 8) / 2 = 5.
Ответ: 5.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x-4)^4-4(x-4)^2-21=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: уравнение биквадратное по \((x-4)\). Делаем замену \(t=(x-4)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены \((x-4)^4=t^2\) и \((x-4)^2=t\). Уравнение:
\(t^2-4t-21=0\).
Шаг 2. Дискриминант: \(D=16+84=100\), \(\sqrt{D}=10\).
\(t_1=\dfrac{4+10}{2}=7,\quad t_2=\dfrac{4-10}{2}=-3\).
Шаг 3. Так как \(t=(x-4)^2\ge0\), значение \(t=-3\) не подходит. Берём \(t=7\).
Шаг 4. Решаем \((x-4)^2=7\):
\(x-4=\pm\sqrt{7}\Rightarrow x=4\pm\sqrt{7}\).
Ответ: \(4-\sqrt{7};\quad 4+\sqrt{7}\).
Правильный ответ: 4-√7;4+√7
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 200 литров она заполняет на 2 минут дольше, чем вторая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 5) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 200/x мин, второй — 200/(x+5) мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 2 мин дольше:
200/x − 200/(x+5) = 2.
Шаг 4. Умножаем на x(x+5):
200·(x+5) − 200·x = 2·x·(x+5).
1000 = 2·x² + 10·x.
2x² + 10x − 1000 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 10² + 4·2·1000 = 100 + 8000 = 8100, √D = 90.
x = (−10 + 90) / (2·2) = 20 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 200/20 = 10 мин, вторая — 200/25 = 8 мин.
10 − 8 = 2 = 2. ✓
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{1x-3}{1x^2-3x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=3 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=3 \), откуда \( k=1/9 \).
Ответ: \(\frac{1}{9}\).
Правильный ответ: 1/9
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 7, AC = 28.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.
Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.
Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 7 · 28 = 196.
Шаг 3. AB = √196 = 14.
Ответ: 14.
Правильный ответ: 14
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.
Шаг 1. Углы DAC и DBC опираются на хорду DC и равны по условию.
По обратной теореме точки A, B, C, D лежат на одной окружности.
Шаг 2. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB.
Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.
Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.
Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.
В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.
Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:
dist(K, AB) = dist(K, AD) = 4.
Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:
dist(K, AB) = dist(K, BC) = 4.
Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:
dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 4 + 4 = 8.
Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 19 · 8 = 152.
Ответ: 152.
Правильный ответ: 152
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.