Загрузка заданий...
Вариант 3976 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 1189 | 841 |
| 4 | 210 | 148 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.
3
Задание 3
1 балл
Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.
4
Задание 4
1 балл
Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.
5
Задание 5
1 балл
Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{2} : \frac{2}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{2} : \frac{2}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{2}) : \frac{2}{1} = \frac{3}{4}\).
Получили дробь \(\frac{3}{4}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,75\).
Ответ: \(0,75\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Укажите число, которое больше \(-\frac{58}{25}\), но меньше \(\frac{183}{40}\).
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа \(-\frac{58}{25}\) и \(\frac{183}{40}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (\(\frac{47}{20}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(5\sqrt{3})^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (5√3)².
Используем свойство степени произведения: (5√3)² = 5² · (√3)².
Получаем 25 · 3 = 75.
Ответ: 75.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 10x + 25 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Разбор: Квадратное уравнение →
Решим уравнение: x2 - 10x + 25 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -10, c = 25.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -10² - 4·1·25 = 0.
Так как D = 0, уравнение имеет один корень.
x = 10 / 2 = 5
Ответ: 5
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 50 карманных фонариков, поступивших в продажу, 33 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 17 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{17}{50}\) = 0,34.
Ответ: 0,34.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k > 0, b < 0
2) k < 0, b > 0
3) k > 0, b > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 321.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2500 кг обладает кинетической энергией 180 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 180·1000 = 180 000 Дж.
v = √(2·180 000/2500) = 12.
Ответ: 12.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 4x + 0,6 < -1,8 \\ -0,6 − 5x \geqslant 0,9 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-∞;-0,6). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В седьмом ряду 38 мест, а в одиннадцатом ряду 50 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Ряды образуют арифметическую прогрессию.
Разность прогрессии: d = (50 - 38) / (11 - 7) = 3.
Тогда первый ряд: a₁ = a7 - (7 - 1)·d = 38 - 6·3 = 20.
Последний ряд: a16 = a₁ + (16 - 1)·d = 20 + 15·3 = 65.
Ответ: 65.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 14, AB = 50. Найдите cos B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.
cos B = BC / AB = \(\frac{14}{50}\) = 0,28.
Ответ: 0,28.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона квадрата равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.
Поэтому радиус равен половине стороны: r = 6 / 2 = 3.
Ответ: 3.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов ромба равен 43°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.
Искомый угол равен 180° - 43° = 137°.
Ответ: 137.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 3 и 9.
m = (3 + 9) / 2 = 6.
Ответ: 6.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(22a-43b+40\), если \(\dfrac{8a-5b+6}{5a-8b+6}=6\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(22a-43b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(8a-5b+6 = 6(5a-8b+6)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(8a-5b+6 = 30a-48b+36\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 22a-43b+30\), откуда \(22a-43b = -30\).
Шаг 4. Вычисляем: \(22a-43b+40 = -30+40 = 10\).
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первые 500 км автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 165 км — со скоростью 55 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.
Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):
t₁ = 500/100 = 5 ч,
t₂ = 100/50 = 2 ч,
t₃ = 165/55 = 3 ч.
Шаг 2. Общее расстояние: 500 + 100 + 165 = 765 км.
Шаг 3. Общее время: 5 + 2 + 3 = 10 ч.
Шаг 4. Средняя скорость: 765 / 10 = 76,5 км/ч.
Ответ: 76,5.
Правильный ответ: 76,5
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| + 5\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x + 5.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x + 5.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 5. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 5.
Проверка: при m = 5 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.
Ответ: 5.
Правильный ответ: 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 14, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 7.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 24² + (AB/2)² = 24² + 7² = 625. R = 25.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 7 от центра:
(CD/2)² = R² − 7² = 625 − 49 = 576.
CD/2 = 24.
Шаг 3. CD = 2 · 24 = 48.
Ответ: 48.
Правильный ответ: 48
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что прямые IJ и AB перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. IA = IB (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка I равноудалена от A и B
⟹ I лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Шаг 2. JA = JB (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка J тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая IJ совпадает с серединным перпендикуляром к AB.
Следовательно, IJ ⟂ AB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.
Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.
Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.
Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.
Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−6, 0), D = (6, 0) (|AD| = 12).
В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.
Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (12, h). На прямой BE точка E = (0, 12 − h), так как BE = 12.
Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·\(\frac{12}{4}\) = 9.
Шаг 5. AB = √(h² + (6)²) = √(81 + 36) = 3√13;
BC = 2·AB = 6√13; CA = 9√5.
Ответ: 3√13; 6√13; 9√5.
Правильный ответ: 3√13; 6√13; 9√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.