Загрузка заданий...

Вариант 3983 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A1, A2 и A4.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A1, A2, A4.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	841	594
2	1189	841
3	297	210
4	594	420

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A0 — 1189 × 841 мм, это №2. A1 — 841 × 594 мм, это №1. A2 — 594 × 420 мм, это №4. A4 — 297 × 210 мм, это №3. Ответ: 2143.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A2?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Из A2 получают два листа A3, а из каждого A3 — два листа A4. Всего 2 · 2 = 4 листа A4. Ответ: 4.

3 Задание 3 1 балл

Найдите ширину листа бумаги формата A0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A0 имеет размеры примерно 1189 × 841 мм. Ширина равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

4 Задание 4 1 балл

Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата A4 к большей. Ответ округлите до десятых.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Размер A4: 297 × 210 мм. Отношение меньшей стороны к большей: 210 : 297 ≈ 0,707. Округляем до десятых: 0,7. Ответ: 0,7.

5 Задание 5 1 балл

Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

При переходе от A4 к A3 линейные размеры увеличиваются примерно в √2 раза. Поэтому размер шрифта: 15 · √2 ≈ 21,2. Округляем до целого: 21. Ответ: 21.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$6,25 - 0,06 : 0,8$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $6,25 - 0,06 : 0,8$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,06) : 0,8 = 0,075$.

Шаг 2: $(6,25) - 0,075 = 6,175$.

Ответ: $6,175$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу $\frac{-45}{11}$. Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\frac{-45}{11}$ по своему значению совпадает с точкой A.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{8} - 2)(\sqrt{8} + 2)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√8 - 2)(√8 + 2).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√8)² - 2² = 8 - 4 = 4.

Ответ: 4.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 18x + 81 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² + 18x + 81 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 18, c = 81.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 18² - 4·1·81 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = -18 / 2 = -9

Ответ: -9

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 20 чашек: 15 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 20.

Благоприятных исходов: 5 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{5}{20}$ = 0,25.

Ответ: 0,25.

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a > 0, c > 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 321.

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 9-минутной поездки.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t = 9 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(9 − 5) = 194.

Ответ: 194.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 9)(x - 1) < 0

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -9 и x = 1. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 1 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 1) < 0 получаем решение (-9;1). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 30 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 4 секунд торможения?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 30, d = -4, n = 4.

Сумма первых 4 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 4(2·30 + 3·(-4))/2 = 96.

Ответ: 96.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите медиану этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 12√3 · √3 / 2 = 12·3 / 2 = 18.

Ответ: 18.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 44°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.

Поэтому ∠AOB = 180° - 44° = 136°.

Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.

Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 136° / 2 = 68°.

Ответ: 68.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Диагональ BD делит угол B на два данных угла.

Угол B равен 65° + 50° = 115°.

Тогда меньший угол параллелограмма равен 180° - 115° = 65°.

Ответ: 65.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 10 и 2.

Искомое отношение площадей равно (10 / 2)² = 25.

Ответ: 25.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Вертикальные углы равны.

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно: такие прямые параллельны между собой.

3) Неверно: они делят прямоугольник на четыре треугольника равной площади, но не обязательно равных как фигуры.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-11)^2<\sqrt{5}(x-11)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-11)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-11)^2-\sqrt{5}(x-11)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-11)\bigl[(x-11)-\sqrt{5}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=11$ и $x=11+\sqrt{5}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(11;\; 11+\sqrt{5})$.

Правильный ответ: (11;11+√5)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 204 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 204 кг свежих фруктов:

204 · 14/100 = 28,56 кг.

Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.

Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,84·x = 28,56.

x = 28,56 / 0,84 = 34 кг.

Ответ: 34.

Правильный ответ: 34

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+6x+9,& x\ge -5,\\-\dfrac{20}{x},& x<-5.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪[4;+∞).

Ответ: {0}∪[4;+∞).

Правильный ответ: {0}∪[4;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 40, а сторона BC в 2 раза меньше стороны AB.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.

Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. KP/BC = AP/AB.

По условию BC в 2 раза меньше AB, то есть AB = 2·BC.

KP = AP · BC/AB = AP / 2 = 40 / 2 = 20.

Ответ: 20.

Правильный ответ: 20

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках M и N пересекаются в точках S и T, причём точки M и N лежат по одну сторону от прямой ST. Докажите, что прямые MN и ST перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. MS = MT (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка M равноудалена от S и T

⟹ M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ST.

Шаг 2. NS = NT (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка N тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая MN совпадает с серединным перпендикуляром к ST.

Следовательно, MN ⟂ ST. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 6, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 124° и 116°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 124° − 90° = 34°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 116° − 90° = 26°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 34° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 26° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 26° = 64°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 64° − 34° = 30°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(30°) = 6 / sin(30°) = 12.

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.