Загрузка заданий...
Вариант 4036 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 297 | 210 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна \(\frac{1}{32}\) м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A1 равна половине площади A0: \(\frac{1}{2}\) м². Масса одного листа: 120 · \(\frac{1}{2}\) = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{4} + \frac{1}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{4}) + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\).
Получили дробь \(\frac{1}{2}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,5\).
Ответ: \(0,5\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Укажите число, которое больше 4, но меньше 5.
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа 4 и 5. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 (4,3) лежит между этими числами.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{6} \cdot 6\sqrt{10} \cdot \sqrt{60}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 3√6 · 6√10 · √60.
Перемножим коэффициенты: 3 · 6 = 18.
Подкоренные выражения дают: √6 · √10 · √60 = √(6·10·60) = √(3600) = 60.
Тогда всё выражение равно 18 · 60 = 1080.
Ответ: 1080.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-8}{x - 3} = 2$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: -8/(x - 3) = 2
Область допустимых значений: x != 3.
Умножим обе части уравнения на x - 3:
-8 = 2(x - 3)
Раскроем скобки:
-8 = 2x - 6
Перенесём число в левую часть:
-2 = 2x
x = -2 / 2
x = -1
Проверка ОДЗ: x = -1, x != 3, условие выполняется.
Ответ: -1
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события B.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.
Получаем 0,75.
Ответ: 0,75
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = 2x^2 + 14x + 24\)
Б) \(y = \dfrac{1}{x}\)
В) \(y = x + 1\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 12-минутной поездки.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t = 12 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(12 − 5) = 227.
Ответ: 227.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} -3 − 5x > -1 \\ x + 2,5 > 3,1 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 19 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 19 мест, а в пятом ряду 23 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Ряды образуют арифметическую прогрессию.
Разность прогрессии: d = (23 - 19) / (5 - 3) = 2.
Тогда первый ряд: a₁ = a3 - (3 - 1)·d = 19 - 2·2 = 15.
Последний ряд: a19 = a₁ + (19 - 1)·d = 15 + 18·2 = 51.
Ответ: 51.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике два угла равны 39° и 26°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Треугольник — углы →
Сумма углов треугольника равна 180°.
Третий угол равен 180° - 39° - 26° = 115°.
Ответ: 115.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус вписанной в квадрат окружности равен 8√2. Найдите диагональ этого квадрата.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Сторона квадрата равна диаметру окружности.
a = 2r = 2 · 8√2 = 16√2.
Диагональ квадрата равна a√2.
d = 16√2 · √2 = 32.
Ответ: 32.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов ромба равен 99°. Найдите меньший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.
Искомый угол равен 180° - 99° = 81°.
Ответ: 81.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
По клеткам основание равно 10, высота равна 5.
S = 10 · 5 / 2 = 25.
Ответ: 25.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-14}{(x-5)^2-2}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: числитель \(-14<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x-5)^2-2<0\).
Шаг 2. \((x-5)^2<2\).
Шаг 3. \(-\sqrt{2}<x-5<\sqrt{2}\).
Шаг 4. Прибавляем 5: \(5-\sqrt{2}<x<5+\sqrt{2}\).
Ответ: \((5-\sqrt{2};\; 5+\sqrt{2})\).
Правильный ответ: (5-√2;5+√2)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 10) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: вторым — 60/x ч, первым — 60/(x+10) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 3 ч больше:
60/x − 60/(x+10) = 3.
Шаг 4. Умножаем на x(x+10):
60·(x+10) − 60·x = 3·x·(x+10).
600 = 3·x² + 30·x.
3x² + 30x − 600 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 30² + 4·3·600 = 900 + 7200 = 8100, √D = 90.
x = (−30 + 90) / (2·3) = 10 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: второй — \(\frac{60}{10}\) = 6 ч, первый — \(\frac{60}{20}\) = 3 ч.
6 − 3 = 3 = 3. ✓
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2-10x+27,& x\ge 4,\\x,& x<4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {2}∪(3;4).
Ответ: {2}∪(3;4).
Правильный ответ: {2}∪(3;4)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.
Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).
Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.
Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.
Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(12² + 5²) = √169 = 13.
Ответ: 13.
Правильный ответ: 13
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.
Шаг 1. Углы DAC и DBC опираются на хорду DC и равны по условию.
По обратной теореме точки A, B, C, D лежат на одной окружности.
Шаг 2. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB.
Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.
Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).
P = 2(a+b) = 220 ⟹ a+b = 110.
Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·2420/110 = 44.
Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:
Из системы a+b=110 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=44:
a = 22, b = 88.
Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.
Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 44·22/110 = 8,8.
Ответ: 8,8.
Правильный ответ: 8,8
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.