Загрузка заданий...

Вариант 4066 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,7 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	кухня	гостиная
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 5, кладовая — 2, кухня — 6, гостиная — 3.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, кухня, гостиная.

Следовательно, ответ: 5263.

Ответ: 5263

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 70 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в спальне?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По плану площадь покрытия спальни составляет 88 клеток.

Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м, поэтому площадь равна 88 · 0,49 = 43,12 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,7 = 0,14 кв. м.

Нужно элементов: 43,12 / 0,14 = 308.

В одной упаковке 5 штук, значит понадобится 62 упаковки.

Ответ: 62.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь большей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

По плану площадь нужного помещения составляет 33 клетки.

Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м.

Значит, площадь равна 33 · 0,49 = 16,17 кв. м.

Ответ: 16,17.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь коридора больше площади кухни?

Решение

Разбор: Задание 4 →

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 144 клетки, второе: 72 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 72) / 72) · 100% = 100%.

Ответ: 100.

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «600»	650 руб. за 600 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб
План «900»	820 руб. за 900 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб
План «Безлимитный»	930 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 700 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 700 Мб?

Решение

Разбор: Задание 5 →

Считаем стоимость интернета при трафике 700 Мб:

План «600»: 650 + 100 · 2 = 850 руб.

План «900»: 820 руб.

План «Безлимитный»: 930 руб.

Самым дешёвым оказывается План «900»: 820 руб.

Ответ: 820.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$3,5 - 2,25$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $3,5 - 2,25$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(3,5) - 2,25 = 1,25$.

Ответ: $1,25$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами $-\frac{9}{2}$ и 4,625?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{5}{1}$

3,725

4,7

4,875

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа $-\frac{9}{2}$ и 4,625. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (3,725) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$3^{-3} \cdot (3^3)^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 3^(-3) · (3^3)^2.

Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (3^3)^2 = 3^6.

Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 3^-3 · 3^6 = 3^3.

Получаем 3^3 = 27.

Ответ: 27.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{1}{x + 5} = 1$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: 1/(x + 5) = 1

Область допустимых значений: x != -5.

Умножим обе части уравнения на x + 5:

1 = 1(x + 5)

Раскроем скобки:

1 = 1x + 5

Перенесём число в левую часть:

-4 = 1x

x = -4 / 1

x = -4

Проверка ОДЗ: x = -4, x != -5, условие выполняется.

Ответ: -4

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 50 чашек: 44 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 6 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{6}{50}$ = 0,12.

Ответ: 0,12.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = \dfrac{4}{5}x + 2$

Б) $y = -2x^2 - 6x + 1$

В) $y = \dfrac{1}{10x}$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 80 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_C = 80 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(80) + 32 = 176.

Ответ: 176.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

2x - 3 > 4x - 7

(-∞;-2)

(5;+∞)

(-∞;2)

(-∞;0)

Решение

Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →

Решим неравенство: 2x - 3 > 4x - 7.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x < -4.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -2: x < 2.

Значит, x меньше 2.

Этому соответствует промежуток (-∞;2).

Правильный ответ: 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 630 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 20 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 630, q = $\frac{1}{3}$.

Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 20 см, а после 5-го уже меньше.

Ответ: 5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Два катета прямоугольного треугольника равны 13 и 4. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

S = $\frac{1}{2}$ · 13 · 4 = $\frac{52}{2}$ = 26.

Ответ: 26.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 45°, AB = 8√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

По теореме синусов AB = 2R·sin C.

Следовательно, R = AB / (2 sin 45°).

Подстановка даёт R = 8.

Ответ: 8.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагональ прямоугольника образует угол 70° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Каждая диагональ образует с выбранной стороной одинаковый по модулю угол.

Поэтому угол между диагоналями равен 2·70° или его дополнительному углу.

Острый угол равен 40°.

Ответ: 40.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 10 и 6.

Большая диагональ равна 10.

Ответ: 10.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Любой квадрат является прямоугольником.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 13.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}2x^2-5x=y,\\2x-5=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: приравниваем правые части.

Шаг 1. $2x^2-5x=2x-5$.

Шаг 2. Переносим влево: $2x^2-7x+5=0$.

Шаг 3. Разложим: $(2x-5)(x-1)=0$.

Корни: $x=\dfrac{5}{2}$ или $x=1$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{5}{2}$: $y=2\cdot\dfrac{5}{2}-5=0$.

При $x=1$: $y=2-5=-3$.

Ответ: $\left(\dfrac{5}{2};\,0\right);\ (1;\,-3)$.

Правильный ответ: (5/2;0);(1;-3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.

По течению: x + 4. Против течения: x − 4.

Шаг 2. Составляем уравнение:

280/(x+4) + 15 + 280/(x−4) = 39.

Шаг 3. Переносим стоянку: 280/(x+4) + 280/(x−4) = 24.

Шаг 4. Умножаем на (x+4)(x−4) = x²−16:

280(x−4) + 280(x+4) = 24(x²−16).

Шаг 5. Левая часть: 2·280·x = 560x. Квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 24.

Шаг 7. Проверка: 10 + 15 + 14 = 39. ✓

Ответ: 24.

Правильный ответ: 24

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+4)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+4,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-4; 4; 5 $.

Ответ: $ -4; 4; 5 $.

Правильный ответ: -4; 4; 5

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 12, CK = 20.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.

Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.

Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).

Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.

Шаг 2. AB = BK = 12.

Шаг 3. BC = BK + CK = 12 + 20 = 32.

Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(12 + 32) = 88.

Ответ: 88.

Правильный ответ: 88

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 12 и CD = 30 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.

Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.

По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.

⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.

Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).

α + β = 60°.

Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.

AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.

Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).

При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.

AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).

Шаг 5. 12² + 30² + 12·30 = 3R².

1404 = 3R² ⟹ R² = 1404/3.

R = 6√13.

Ответ: 6√13.

Правильный ответ: 6√13

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.