Загрузка заданий...

Вариант 4087 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	148	105
4	297	210

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна $\frac{1}{32}$ м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь листа A1 равна половине площади A0: $\frac{1}{2}$ м². Масса одного листа: 120 · $\frac{1}{2}$ = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$2,25 : 0,005 - \frac{7}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $2,25 : 0,005 - \frac{7}{10}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(2,25) : 0,005 = 450$.

Шаг 2: $(450) - \frac{7}{10} = 449,3$.

Получили результат $449,3$.

Ответ: $449,3$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Укажите число, которое больше $2\sqrt{5}$, но меньше 5.
В ответе укажите номер правильного варианта.

-1,96

4,625

2,6

-1,5

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа $2\sqrt{5}$ и 5. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (4,625) лежит между этими числами.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$5\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{12}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 5√6 · 3√2 · √12.

Перемножим коэффициенты: 5 · 3 = 15.

Подкоренные выражения дают: √6 · √2 · √12 = √(6·2·12) = √(144) = 12.

Тогда всё выражение равно 15 · 12 = 180.

Ответ: 180.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} 6x + 6y = -102 \\ -3x - 2y = 42 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

6x + 6y = -102

-3x - 2y = 42

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -3, а второе — на 6.

Получим:

$(6x + 6y = -102) \cdot -3$: -18x - 18y = 306

$(-3x - 2y = 42) \cdot 6$: -18x - 12y = 252

Вычтем второе уравнение из первого:

-6y = 54

y = 54 / -6 = -9

Подставим y = -9 в первое уравнение:

6x + 6y = -102

Получаем x = -8.

Ответ: (-8;-9)

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 9 чёрных, 12 жёлтых и 9 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 30.

Благоприятных исходов: 12 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{12}{30}$ = 0,4.

Ответ: 0,4.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = -\dfrac{3}{4}x - 1$

Б) $y = -\dfrac{12}{x}$

В) $y = -x^2 + 5$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 8,5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 361,25 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 361,25/(8,5²) = 5.

Ответ: 5.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² ≥ 64

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Из неравенства x² >= 64 получаем границы x = ±8. Верное решение: (-∞;-8] ∪ [8;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 7 секунд торможения?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 20, d = -3, n = 7.

Сумма первых 7 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 7(2·20 + 6·(-3))/2 = 77.

Ответ: 77.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 58, сторона BC равна 41, сторона AC равна 62. Найдите MN.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией.

Средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.

Поэтому MN = AC : 2 = 62 : 2 = 31.

Ответ: 31.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Диагональ AC ромба ABCD равна 16, а tg ∠BCA = 7/24. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.

Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:

tg ∠BCA = BD / AC, значит BD = AC · tg ∠BCA = 16 · $\frac{7}{24}$ = 4,666666667.

Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 16 · 4,666666667 / 2 = 37,33333333.

Сторона ромба a = √(($\frac{16}{2}$)² + (4,666666667/2)²) = 8,333333333.

Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.

r = S / (2a) = 37,33333333 / (2·8,333333333) = 2,24.

Ответ: 2,24.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 43°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Соседние углы ромба supplementary, их сумма равна 180°.

Искомый угол равен 180° - 43° = 137°.

Ответ: 137.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 4 и 6.

m = (4 + 6) / 2 = 5.

Ответ: 5.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно: из равенства трёх углов следует подобие, а не равенство.

2) Верно.

3) Верно.

Ответ: 23.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-11)^2<\sqrt{5}(x-11)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-11)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-11)^2-\sqrt{5}(x-11)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-11)\bigl[(x-11)-\sqrt{5}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=11$ и $x=11+\sqrt{5}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(11;\; 11+\sqrt{5})$.

Правильный ответ: (11;11+√5)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 320 км — со скоростью 80 км/ч, а последние 140 км — со скоростью 35 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.

Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):

t₁ = 200/50 = 4 ч,

t₂ = 320/80 = 4 ч,

t₃ = 140/35 = 4 ч.

Шаг 2. Общее расстояние: 200 + 320 + 140 = 660 км.

Шаг 3. Общее время: 4 + 4 + 4 = 12 ч.

Шаг 4. Средняя скорость: 660 / 12 = 55 км/ч.

Ответ: 55.

Правильный ответ: 55

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 4|x| + 9\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 4x + 9.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 4x + 9.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 9. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 9.

Проверка: при m = 9 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 81, BC = 27, CF : DF = 5 : 4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.

Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 5:4 (от C).

Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 5:4 (из подобия трапеций).

Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:

EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (4·27 + 5·81) / (5+4).

Шаг 3. EF = (108 + 405) / 9 = 513 / 9 = 57.

Ответ: 57.

Правильный ответ: 57

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота от K до AB равна среднему арифметическому высот от C и D.

Шаг 1. Пусть hC и hD — расстояния от C и D до прямой AB. K — середина CD,

поэтому высота hK = (hC + hD)/2.

Шаг 2. S(△KAB) = AB·hK/2 = AB·(hC+hD)/4.

Шаг 3. S(трапеции) = (AD+BC)·h/2; при AB = AD: S = AB·(hC+hD)/2.

Значит S(△KAB) = S(трапеции)/2. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 35 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √35/6.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 9 · 35 = 315.

AT = √315.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 26 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{35}{6}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 27.

Ответ: 27.

Правильный ответ: 27

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.