Загрузка заданий...
Вариант 422 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 297 | 210 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна \(\frac{1}{32}\) м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A1 равна половине площади A0: \(\frac{1}{2}\) м². Масса одного листа: 120 · \(\frac{1}{2}\) = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{4}{5} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{8}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{4}{5} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{8}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{2}) \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{16}\).
Шаг 2: \((\frac{4}{5}) - \frac{9}{16} = \frac{19}{80}\).
Получили дробь \(\frac{19}{80}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,2375\).
Ответ: \(0,2375\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число 3,62?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число 3,62 по своему значению совпадает с точкой D.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{12} - 4)(\sqrt{12} + 4)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√12 - 4)(√12 + 4).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√12)² - 4² = 12 - 16 = -4.
Ответ: -4.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -3x + 8y = -69 \\ 2x + 8y = -34 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-3x + 8y = -69
2x + 8y = -34
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 2, а второе — на -3.
Получим:
\((-3x + 8y = -69) \cdot 2\): -6x + 16y = -138
\((2x + 8y = -34) \cdot -3\): -6x - 24y = 102
Вычтем второе уравнение из первого:
40y = -240
y = -240 / 40 = -6
Подставим y = -6 в первое уравнение:
-3x + 8y = -69
Получаем x = 7.
Ответ: (7;-6)
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 25 чашек: 10 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 25.
Благоприятных исходов: 15 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{15}{25}\) = 0,6.
Ответ: 0,6.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c < 0
Б) a < 0, c > 0
В) a > 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 213.
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 9-минутной поездки.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t = 9 в формулу C = 150 + 11(t − 5).
C = 150 + 11·(9 − 5) = 194.
Ответ: 194.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
x2 - 64 > 0
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Решаем x² - 64 > 0. Нули: x = -8 и x = 8. Верное решение: (-∞;-8) ∪ (8;+∞). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 8 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 8, q = 3.
За 90 минут пройдёт 3 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 8·3^3 = 216 мг.
Ответ: 216.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 43, сторона BC равна 32, сторона AC равна 62. Найдите MN.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией.
Средняя линия параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
Поэтому MN = AC : 2 = 62 : 2 = 31.
Ответ: 31.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 34√2. Найдите длину стороны этого квадрата.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Для квадрата R = a√2 / 2.
Значит, a = R·√2 = 34√2 · √2 = 68.
Ответ: 68.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 4 и 6, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
m = (4 + 6) / 2 = 5.
Ответ: 5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
По клеткам основание равно 10, высота равна 5.
S = 10 · 5 / 2 = 25.
Ответ: 25.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Верно.
3) Неверно: данных недостаточно без уточнения положения угла.
Ответ: 2.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x+3)^4+2(x+3)^2-8=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биквадратное по \((x+3)\). Замена \(t=(x+3)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+2t-8=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t+4)(t-2)=0\).
Корни: \(t_1=-4\), \(t_2=2\).
Шаг 3. Берём только \(t=2\) (так как \(t\ge0\), значение \(t=-4\) не подходит).
Шаг 4. Решаем \((x+3)^2=2\):
\(x+3=\pm\sqrt{2}\Rightarrow x=-3\pm\sqrt{2}\).
Ответ: \(-3-\sqrt{2};\quad -3+\sqrt{2}\).
Правильный ответ: -3-√2;-3+√2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 55 км/ч, а вторую — со скоростью 70 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.
Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/55 ч.
Шаг 2. Время на второй половине: S/70 ч.
Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/55 + S/70) = 2 / (\(\frac{1}{55}\) + \(\frac{1}{70}\)).
Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·55·70 / (55 + 70) = 7700 / 125 = 61,6 км/ч.
Ответ: 61,6.
Правильный ответ: 61,6
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| - 3\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x - 3.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x - 3.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -3. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -3.
Проверка: при m = -3 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: -3.
Правильный ответ: -3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катеты прямоугольного треугольника равны 100 и 105. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.
Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(100² + 105²) = √21025 = 145.
Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 100·105/2 = 5250.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 145·h/2.
Шаг 4. Приравниваем: 145·h/2 = 5250 ⟹ h = 100·105/145 = 2100/29.
Ответ: 2100/29.
Правильный ответ: 2100/29
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке K, лежащей на стороне BC. Докажите, что K — середина BC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы углов A и D перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.
Шаг 1. В параллелограмме ∠A + ∠D = 180° (смежные).
Биссектрисы делят углы пополам: ∠A/2 + ∠D/2 = 90°.
Значит в △K (треугольник при пересечении биссектрис) угол при K равен 90°.
Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.
Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),
значит расстояние от вершины до K равно половине смежной стороны.
Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем K — середина BC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 12 и 21 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √7/4.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 12 · 21 = 252.
AT = √252.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 9 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{7}{4}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
Вычисление даёт r = 8.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.