Загрузка заданий...

Вариант 436 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A1, A2 и A4.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A1, A2, A4.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	841	594
2	1189	841
3	297	210
4	594	420

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A0 — 1189 × 841 мм, это №2. A1 — 841 × 594 мм, это №1. A2 — 594 × 420 мм, это №4. A4 — 297 × 210 мм, это №3. Ответ: 2143.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A2?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Из A2 получают два листа A3, а из каждого A3 — два листа A4. Всего 2 · 2 = 4 листа A4. Ответ: 4.

3 Задание 3 1 балл

Найдите ширину листа бумаги формата A0. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A0 имеет размеры примерно 1189 × 841 мм. Ширина равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

4 Задание 4 1 балл

Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата A4 к большей. Ответ округлите до десятых.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Размер A4: 297 × 210 мм. Отношение меньшей стороны к большей: 210 : 297 ≈ 0,707. Округляем до десятых: 0,7. Ответ: 0,7.

5 Задание 5 1 балл

Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A3 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 15 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

При переходе от A4 к A3 линейные размеры увеличиваются примерно в √2 раза. Поэтому размер шрифта: 15 · √2 ≈ 21,2. Округляем до целого: 21. Ответ: 21.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{4} - \frac{1}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{4} - \frac{1}{10}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{4}) - \frac{1}{10} = \frac{3}{20}$.

Получили дробь $\frac{3}{20}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,15$.

Ответ: $0,15$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу 3,33. Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число 3,33 по своему значению совпадает с точкой D.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√3 - 2)(√3 + 2).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√3)² - 2² = 3 - 4 = -1.

Ответ: -1.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 4x + 4 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² - 4x + 4 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -4, c = 4.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -4² - 4·1·4 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = 4 / 2 = 2

Ответ: 2

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события $\overline{A} \cap B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.

Получаем 0,3.

Ответ: 0,3

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) $y = -\dfrac{1}{2}x$

Б) $y = 2x + 3$

В) $y = \dfrac{1}{2}x + 4$

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 123.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 20 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим C = 0,0001 и U = 20 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·20² / 2 = 0,02.

Ответ: 0,02.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} x + 1 \geqslant 0,9 \\ -2 − 6x > -17,6 \end{cases}$$

[-0,1;2,6)

(2,6;+∞)

(-0,1;2,6)

(-∞;-0,1)

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-0,1;2,6). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 8 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Пройденные за секунды расстояния образуют арифметическую прогрессию: a₁ = 8, d = 10, n = 5.

Сумма первых 5 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5(2·8 + 4·10)/2 = 140.

Ответ: 140.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите высоту этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 14√3 · √3 / 2 = 14·3 / 2 = 21.

Ответ: 21.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 6√3. Найдите длину стороны этого треугольника.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.

Значит, a = 2r√3 = 2 · 6√3 · √3 = 36.

Ответ: 36.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание равно 12 + 8 = 20.

S = 20 · 5 = 100.

Ответ: 100.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 5 и 9.

m = (5 + 9) / 2 = 7.

Ответ: 7.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.

Все диаметры окружности равны между собой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.

3) Верно.

Ответ: 13.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{2}{x-1}-3=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x-1}$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+2t-3=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+3)(t-1)=0$.

Корни: $t_1=-3$, $t_2=1$.

Шаг 3. Обратная замена:

Если $t=-3$: $x-1=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}$.

Если $t=1$: $x-1=1\Rightarrow x=2$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne1$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $\dfrac{2}{3};\quad 2$.

Правильный ответ: 2/3;2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные — 17%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 17% воды, значит сухого вещества 83%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 44 кг сухих фруктов:

44 · 83/100 = 36,52 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 78% воды, значит сухого вещества 22%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,22·x = 36,52.

x = 36,52 / 0,22 = 166 кг.

Ответ: 166.

Правильный ответ: 166

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| + 8\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x + 8.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x + 8.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 8.

Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 17.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.

Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.

h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin30°.

Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:

h = CD · sin(∠BCD) = 17 · sin120°.

Шаг 3. Из равенства: AB · sin30° = 17 · sin120°.

AB = 17 · sin120°/sin30° (здесь sin120°/sin30° = √3).

AB = 17√3.

Ответ: 17√3.

Правильный ответ: 17√3

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота от K до AB равна среднему арифметическому высот от C и D.

Шаг 1. Пусть hC и hD — расстояния от C и D до прямой AB. K — середина CD,

поэтому высота hK = (hC + hD)/2.

Шаг 2. S(△KAB) = AB·hK/2 = AB·(hC+hD)/4.

Шаг 3. S(трапеции) = (AD+BC)·h/2; при AB = AD: S = AB·(hC+hD)/2.

Значит S(△KAB) = S(трапеции)/2. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 13 : 12, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 10.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.

Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.

BF : FH = 13 : 12 (дано).

Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.

Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.

В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.

Шаг 3. Из отношения BF:FH = 13:12:

tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.

BF/FH = $\frac{13}{12}$ ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = $\frac{13}{12}$.

Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:

sin A = 2·12/(13+12) · ... = BC/(2R).

Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 10/(2·sin A) = 13.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.