Загрузка заданий...

Вариант 465 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A5 и A6.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A5, A6.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	210	148
2	594	420
3	148	105
4	420	297

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A2 имеет размеры 594 × 420 мм — это лист №2. A3: 420 × 297 мм — №4. A5: 210 × 148 мм — №1. A6: 148 × 105 мм — №3. Ответ: 2413.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A3 получится из одного листа формата A2?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

При переходе от формата A2 к формату A3 лист разрезают пополам, поэтому из одного A2 получается 2 листа A3. Ответ: 2.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь листа формата A3. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Размер A3: 420 × 297 мм. Площадь равна 420 · 297 = 124740 мм². Так как 1 см² = 100 мм², получаем 124740 : 100 = 1247,4 см². Ответ: 1247,4.

4 Задание 4 1 балл

Найдите длину листа бумаги формата A1. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Длина листа A1 равна 841 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 840. Ответ: 840.

5 Задание 5 1 балл

Бумагу формата A5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Площадь листа A5 равна $\frac{1}{32}$ м². Масса одного листа: 80 : 32 = 2,5 г. В пачке 500 листов, значит масса пачки 2,5 · 500 = 1250 г. Ответ: 1250.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,1 + 1,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,1 + 1,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,1) + 1,5 = 1,6$.

Ответ: $1,6$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-a > -8

9 - a < 0

$\frac{1}{a} < 0$

-a > -9

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 8 < a < 9.

Проверим варианты ответа:

1) -a > -8 ⇔ a < 8 — неверно.

2) 9 - a < 0 ⇔ a > 9 — неверно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) -a > -9 ⇔ a < 9 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$6\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{11} \cdot \sqrt{22}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 6√2 · 4√11 · √22.

Перемножим коэффициенты: 6 · 4 = 24.

Подкоренные выражения дают: √2 · √11 · √22 = √(2·11·22) = √(484) = 22.

Тогда всё выражение равно 24 · 22 = 528.

Ответ: 528.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² - 12x + 27 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² - 12x + 27 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = -12, c = 27.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = -12² - 4·1·27 = 36.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (12 - √36) / 2 = 3

x₂ = (12 + √36) / 2 = 9

Ответ: 3;9

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, 25 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 80.

Благоприятных исходов: 55 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{55}{80}$ = 0,6875.

Ответ: 0,6875.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = -x^2 - 2$

Б) $y = -2x - 4$

В) $y = \sqrt{x}$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.

Ответ: 312

12 Расчёты по формулам 1 балл

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0001 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 20 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим C = 0,0001 и U = 20 в формулу W = CU²/2.

W = 0,0001·20² / 2 = 0,02.

Ответ: 0,02.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 2)(x - 10) < 0

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -2 и x = 10. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 10 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 10) < 0 получаем решение (-2;10). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 9° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 4 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -8° C.

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Температура уменьшается равномерно на 9° C в минуту.

Через 4 минут изменение составит 9·4 = 36° C.

Итоговая температура: -8 - 36 = -44.

Ответ: -44.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите биссектрису этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.

Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.

Получаем: 14√3 · √3 / 2 = 14·3 / 2 = 21.

Ответ: 21.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружность с центром в точке O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно 2√3. Найдите сторону треугольника.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Расстояние от центра описанной окружности равностороннего треугольника до стороны равно радиусу вписанной окружности r.

Для равностороннего треугольника a = 2r√3.

Подставляя r = 2√3, получаем a = 12.

Ответ: 12.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

При угле 45° высота равна половине разности оснований.

h = (9 - 4) / 2 = 2,5.

S = (4 + 9) / 2 · 2,5 = 16,25.

Ответ: 16,25.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 8 и 6.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.

Ответ: 10.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(3-x)(x^2-9)\ge 0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: разложить через $(x-3)$.

Шаг 1. $x^2-9=(x-3)(x+3)$ и $3-x=-(x-3)$.

Шаг 2. Перемножаем: $(3-x)(x^2-9)=-(x-3)^2(x+3)$.

Шаг 3. Неравенство: $-(x-3)^2(x+3)\ge0$.

Шаг 4. Делим на $-1$: $(x-3)^2(x+3)\le0$.

Шаг 5. Произведение $\le0$ когда $x+3\le0\Rightarrow x\le-3$, или $x=3$.

Ответ: $(-\infty;\;-3]\cup\{3\}$.

Правильный ответ: (-∞;-3]∪{3}

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 285 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 34 км/ч, стоянка длится 19 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 36 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.

По течению: 34 + x. Против течения: 34 − x.

Шаг 2. Составляем уравнение:

285/(34+x) + 19 + 285/(34−x) = 36.

Шаг 3. Переносим стоянку: 285/(34+x) + 285/(34−x) = 17.

Шаг 4. Умножаем на (34+x)(34−x) = 1156−x²:

285(34−x) + 285(34+x) = 17(1156−x²).

Шаг 5. Левая часть: 2·285·34 = 19380. Квадратное уравнение относительно x.

Шаг 6. Решение: x = 4.

Шаг 7. Проверка: $\frac{15}{2}$ + 19 + $\frac{19}{2}$ = 36. ✓

Ответ: 4.

Правильный ответ: 4

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+2,25)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+2,25,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-3; 3; 3,25 $.

Ответ: $ -3; 3; 3,25 $.

Правильный ответ: -3; 3; 3,25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 20 и CH = 5. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 20 + 5 = 25.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 25 и катетом DH = 20.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(25² − 20²) = √(225) = 15.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.

Шаг 1. Проведём радиусы IA и JB к точкам касания касательной.

Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ IA ∥ JB.

Шаг 2. В треугольниках TIA и TJB (T — точка на IJ):

∠ATI = ∠BTJ (вертикальные), IA ∥ JB ⟹ оба треугольника подобны.

Коэффициент подобия = TI/TJ = m:n.

Шаг 3. TI/TJ = r₁/r₂ = d₁/d₂.

Следовательно, диаметры относятся как m:n. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √11/6.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.

Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.

Степень точки A: AT² = AM · AN = 9 · 11 = 99.

AT = √99.

Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.

sin∠TAM = MT/AT = r/AT.

Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:

MN = 2 (расстояние между M и N на прямой AC).

Через cos∠BAC = √$\frac{11}{6}$ находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...

Вычисление даёт r = 5,4.

Ответ: 5,4.

Правильный ответ: 5,4

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.