Загрузка заданий...
Вариант 504 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,4 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | спальня | кухня | гостиная |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Задание 1 →
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 1, спальня — 2, кухня — 3, гостиная — 8.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, спальня, кухня, гостиная.
Следовательно, ответ: 1238.
Ответ: 1238
2
Задание 2
1 балл
Паркетная доска размером 20 см на 60 см продаётся в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в санузле?
Решение
Разбор: Задание 2 →
По плану площадь покрытия санузла составляет 36 клеток.
Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м, поэтому площадь равна 36 · 0,16 = 5,76 кв. м.
Площадь одной доски: 0,2 · 0,6 = 0,12 кв. м.
Нужно элементов: 5,76 / 0,12 = 48.
В одной упаковке 10 штук, значит понадобится 5 упаковок.
Ответ: 5.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь меньшей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Разбор: Задание 3 →
По плану площадь нужного помещения составляет 27 клеток.
Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.
Значит, площадь равна 27 · 0,16 = 4,32 кв. м.
Ответ: 4,32.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь кухни больше площади кладовой?
Решение
Разбор: Задание 4 →
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 72 клетки, второе: 24 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 24) / 24) · 100% = 200%.
Ответ: 200.
5
Задание 5
1 балл
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| План «800» | 900 руб. за 800 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб |
| План «1000» | 1 050 руб. за 1000 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб |
| План «Безлимитный» | 1 100 руб. за неограниченное количество Мб трафика | — |
В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 850 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 850 Мб?
Решение
Разбор: Задание 5 →
Считаем стоимость интернета при трафике 850 Мб:
План «800»: 900 + 50 · 2 = 1 000 руб.
План «1000»: 1 050 руб.
План «Безлимитный»: 1 100 руб.
Самым дешёвым оказывается План «800»: 1 000 руб.
Ответ: 1 000.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{6}{7}) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{7}\).
Шаг 2: \((\frac{2}{7}) \cdot \frac{7}{2} = \frac{1}{1}\).
Получили дробь 1.
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(1\).
Ответ: \(1\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что -5 < a < -4.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
2) a > -4 ⇔ a > -4 — неверно.
3) -a > 4 ⇔ a < -4 — верно.
4) a < -5 ⇔ a < -5 — неверно.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{10} \cdot \sqrt{30}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 2√3 · 4√10 · √30.
Перемножим коэффициенты: 2 · 4 = 8.
Подкоренные выражения дают: √3 · √10 · √30 = √(3·10·30) = √(900) = 30.
Тогда всё выражение равно 8 · 30 = 240.
Ответ: 240.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-4}{x + 8} = -2$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: -4/(x + 8) = -2
Область допустимых значений: x != -8.
Умножим обе части уравнения на x + 8:
-4 = -2(x + 8)
Раскроем скобки:
-4 = -2x - 16
Перенесём число в левую часть:
12 = -2x
x = 12 / -2
x = -6
Проверка ОДЗ: x = -6, x != -8, условие выполняется.
Ответ: -6
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой из четырёх областей указана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события A.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Складываем вероятности тех областей диаграммы, которые входят в нужное событие.
Получаем 0,6.
Ответ: 0,6
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = \dfrac{5}{3}x - 1\)
Б) \(y = \dfrac{1}{x}\)
В) \(y = -x^2 + 2x + 3\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 50 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 3 430 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 3 430/(9,8·50) = 7.
Ответ: 7.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 3)(x - 10) < 0
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -3 и x = 10. На числовой прямой отмечаем точки -3 и 10 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 3)(x - 10) < 0 получаем решение (-3;10). Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 16, d = 2, n = 10.
Сначала найдём последний ряд: a10 = 16 + (10 - 1)·2 = 34.
Сумма первых 10 членов: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 10·(16 + 34)/2 = 250.
Ответ: 250.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 11/8, BC = 24. Найдите AC.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.
Значит, AC = BC · tg B = 24 · \(\frac{11}{8}\) = 33.
Ответ: 33.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 150°, AB = 26. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
По теореме синусов AB = 2R·sin C.
Следовательно, R = AB / (2 sin 150°).
Подстановка даёт R = 26.
Ответ: 26.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ равнобедренной трапеции образует с боковыми сторонами углы 28° и 73°. Сколько градусов составляет угол при большем основании трапеции?
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Диагональ и две боковые стороны образуют треугольник, сумма его углов 180°.
Искомый угол равен 180° - 28° - 73° = 79°.
Ответ: 79.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 2 и 8.
m = (2 + 8) / 2 = 5.
Ответ: 5.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-2)^2}-\frac{1}{x-2}-6=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: делаем замену \(t=\frac{1}{x-2}\) — сводим к квадратному.
Шаг 1. После замены \(\frac{1}{(x-2)^2}=t^2\). Уравнение:
\(t^2-t-6=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t-3)(t+2)=0\).
Корни: \(t_1=3\), \(t_2=-2\).
Шаг 3. Обратная замена. Из \(\frac{1}{x-2}=t\) получаем \(x=2+\frac{1}{t}\).
Если \(t=3\): \(x-2=\dfrac{1}{3}\Rightarrow x=\dfrac{7}{3}\).
Если \(t=-2\): \(x-2=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne2\) — оба корня удовлетворяют.
Ответ: \(\dfrac{3}{2};\quad \dfrac{7}{3}\).
Правильный ответ: 3/2;7/3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 112 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 9 км/ч. По пути он сделал остановку на 4 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).
Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 9) км/ч.
Шаг 2. Время в пути одинаковое с учётом остановки:
112/x = 112/(x+9) + 4.
Шаг 3. Переносим и умножаем на x·(x+9): 4x² + 36x − 1008 = 0.
Шаг 4. D = 17424, √D = 132. x = (−36+132)/(2·4) = 12.
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+1)((x+2))}{-2-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+1,\ x\ne -2 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-2 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-2; 2; 2,5 \).
Ответ: \( -2; 2; 2,5 \).
Правильный ответ: -2; 2; 2,5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 65, BC = 15, CF : DF = 7 : 3.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.
Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 7:3 (от C).
Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 7:3 (из подобия трапеций).
Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:
EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (3·15 + 7·65) / (7+3).
Шаг 3. EF = (45 + 455) / 10 = 500 / 10 = 50.
Ответ: 50.
Правильный ответ: 50
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = 2√2/3.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 9 · 32 = 288.
AT = √288.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 23 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = 2√\(\frac{2}{3}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
Вычисление даёт r = 13,5.
Ответ: 13,5.
Правильный ответ: 13,5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.