Загрузка заданий...
Вариант 510 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,7 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | кладовая | кухня | гостиная |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Задание 1 →
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 5, кладовая — 2, кухня — 6, гостиная — 3.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, кухня, гостиная.
Следовательно, ответ: 5263.
Ответ: 5263
2
Задание 2
1 балл
Паркетная доска размером 20 см на 70 см продаётся в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в спальне?
Решение
Разбор: Задание 2 →
По плану площадь покрытия спальни составляет 88 клеток.
Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м, поэтому площадь равна 88 · 0,49 = 43,12 кв. м.
Площадь одной доски: 0,2 · 0,7 = 0,14 кв. м.
Нужно элементов: 43,12 / 0,14 = 308.
В одной упаковке 10 штук, значит понадобится 31 упаковка.
Ответ: 31.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь большей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Разбор: Задание 3 →
По плану площадь нужного помещения составляет 33 клетки.
Площадь одной клетки: 0,7 · 0,7 = 0,49 кв. м.
Значит, площадь равна 33 · 0,49 = 16,17 кв. м.
Ответ: 16,17.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь коридора больше площади кухни?
Решение
Разбор: Задание 4 →
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 144 клетки, второе: 72 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((144 − 72) / 72) · 100% = 100%.
Ответ: 100.
5
Задание 5
1 балл
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| План «600» | 650 руб. за 600 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб |
| План «900» | 820 руб. за 900 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб |
| План «Безлимитный» | 930 руб. за неограниченное количество Мб трафика | — |
В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 700 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 700 Мб?
Решение
Разбор: Задание 5 →
Считаем стоимость интернета при трафике 700 Мб:
План «600»: 650 + 100 · 2 = 850 руб.
План «900»: 820 руб.
План «Безлимитный»: 930 руб.
Самым дешёвым оказывается План «900»: 820 руб.
Ответ: 820.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$5 + \frac{4}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(5 + \frac{4}{1}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((5) + \frac{4}{1} = 9\).
Получили результат \(9\).
Ответ: \(9\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами 0,23 и 3,8?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа 0,23 и 3,8. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (\(\sqrt{7}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{10} \cdot \sqrt{20}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 4√2 · 3√10 · √20.
Перемножим коэффициенты: 4 · 3 = 12.
Подкоренные выражения дают: √2 · √10 · √20 = √(2·10·20) = √(400) = 20.
Тогда всё выражение равно 12 · 20 = 240.
Ответ: 240.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-6}{x + 5} = -3$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: -6/(x + 5) = -3
Область допустимых значений: x != -5.
Умножим обе части уравнения на x + 5:
-6 = -3(x + 5)
Раскроем скобки:
-6 = -3x - 15
Перенесём число в левую часть:
9 = -3x
x = 9 / -3
x = -3
Проверка ОДЗ: x = -3, x != -5, условие выполняется.
Ответ: -3
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, 75 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 80.
Благоприятных исходов: 5 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{5}{80}\) = 0,0625.
Ответ: 0,0625.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = \dfrac{2}{x}\)
Б) \(y = -2x^2 + 4x\)
В) \(y = -x\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.
Ответ: 132
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -76 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t_F = -76 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(-76 − 32)/9 = -60.
Ответ: -60.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 < 64
1
2
3
4
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Из неравенства x² < 64 получаем границы x = ±8. Верное решение: (-8;8). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 25 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,4 м, q = \(\frac{1}{3}\).
Пороговая высота равна 25 см = 0,25 м.
После 3-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 4-го прыжка уже меньше.
Ответ: 4.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите высоту этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.
Получаем: 10√3 · √3 / 2 = 10·3 / 2 = 15.
Ответ: 15.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 124°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.
Поэтому ∠AOB = 180° - 124° = 56°.
Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.
Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 56° / 2 = 28°.
Ответ: 28.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 41°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.
Следовательно, острый угол равен 2 · 41° = 82°.
Ответ: 82.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
По клеткам основания равны 3 и 9.
m = (3 + 9) / 2 = 6.
Ответ: 6.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-19}{(x+5)^2-6}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: числитель \(-19<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x+5)^2-6<0\).
Шаг 2. \((x+5)^2<6\).
Шаг 3. \(-\sqrt{6}<x+5<\sqrt{6}\).
Шаг 4. Вычитаем 5: \(-5-\sqrt{6}<x<-5+\sqrt{6}\).
Ответ: \((-5-\sqrt{6};\; -5+\sqrt{6})\).
Правильный ответ: (-5-√6;-5+√6)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Проценты и сухое вещество
Свежие фрукты содержат 81% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.
Шаг 1. Свежие фрукты содержат 81% воды, значит сухого вещества 19%.
Шаг 2. Масса сухого вещества в 420 кг свежих фруктов:
420 · 19/100 = 79,8 кг.
Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 16% воды, значит сухого вещества 84%.
Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,84·x = 79,8.
x = 79,8 / 0,84 = 95 кг.
Ответ: 95.
Правильный ответ: 95
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| + 8\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x + 8.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x + 8.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 8.
Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катеты прямоугольного треугольника равны 48 и 90. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.
Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(48² + 90²) = √10404 = 102.
Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 48·\(\frac{90}{2}\) = 2160.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 102·h/2.
Шаг 4. Приравниваем: 102·h/2 = 2160 ⟹ h = 48·90/102 = 720/17.
Ответ: 720/17.
Правильный ответ: 720/17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках P и Q не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении a:b. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как a:b.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы PA и QB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ PA ∥ QB.
Шаг 2. В треугольниках TPA и TQB (T — точка на PQ):
∠ATP = ∠BTQ (вертикальные), PA ∥ QB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TP/TQ = a:b.
Шаг 3. TP/TQ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как a:b. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5 : 4, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.
Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.
BF : FH = 5 : 4 (дано).
Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.
Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.
В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.
Шаг 3. Из отношения BF:FH = 5:4:
tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.
BF/FH = \(\frac{5}{4}\) ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = \(\frac{5}{4}\).
Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:
sin A = 2·4/(5+4) · ... = BC/(2R).
Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 12/(2·sin A) = 10.
Ответ: 10.
Правильный ответ: 10
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.