Загрузка заданий...
Вариант 518 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,5 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | санузел | кладовая | спальня | гостиная |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Задание 1 →
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: санузел — 7, кладовая — 1, спальня — 8, гостиная — 5.
В таблице объекты стоят в порядке: санузел, кладовая, спальня, гостиная.
Следовательно, ответ: 7185.
Ответ: 7185
2
Задание 2
1 балл
Паркетная доска размером 20 см на 50 см продаётся в упаковках по 12 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в коридоре?
Решение
Разбор: Задание 2 →
По плану площадь покрытия коридора составляет 144 клетки.
Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м, поэтому площадь равна 144 · 0,25 = 36 кв. м.
Площадь одной доски: 0,2 · 0,5 = 0,1 кв. м.
Нужно элементов: 36 / 0,1 = 360.
В одной упаковке 12 штук, значит понадобится 30 упаковок.
Ответ: 30.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь кухни. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Разбор: Задание 3 →
По плану площадь нужного помещения составляет 72 клетки.
Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м.
Значит, площадь равна 72 · 0,25 = 18 кв. м.
Ответ: 18.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь кухни больше площади санузла?
Решение
Разбор: Задание 4 →
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 72 клетки, второе: 36 клеток.
На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 36) / 36) · 100% = 100%.
Ответ: 100.
5
Задание 5
1 балл
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| План «500» | 600 руб. за 500 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб |
| План «1000» | 820 руб. за 1000 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб |
| План «Безлимитный» | 900 руб. за неограниченное количество Мб трафика | — |
В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 650 Мб?
Решение
Разбор: Задание 5 →
Считаем стоимость интернета при трафике 650 Мб:
План «500»: 600 + 150 · 2 = 900 руб.
План «1000»: 820 руб.
План «Безлимитный»: 900 руб.
Самым дешёвым оказывается План «1000»: 820 руб.
Ответ: 820.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{7}{8} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{7}{8} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{1}) \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\).
Шаг 2: \((\frac{7}{8}) + \frac{3}{2} = \frac{19}{8}\).
Получили дробь \(\frac{19}{8}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2,375\).
Ответ: \(2,375\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что -2 < a < -1.
Проверим варианты ответа:
1) -a < 1 ⇔ a > -1 — неверно.
2) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
3) a < -2 ⇔ a < -2 — неверно.
4) -2 - a < 0 ⇔ a > -2 — верно.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(5\sqrt{3})^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (5√3)².
Используем свойство степени произведения: (5√3)² = 5² · (√3)².
Получаем 25 · 3 = 75.
Ответ: 75.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{6}{x + 5} = -6$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: 6/(x + 5) = -6
Область допустимых значений: x != -5.
Умножим обе части уравнения на x + 5:
6 = -6(x + 5)
Раскроем скобки:
6 = -6x - 30
Перенесём число в левую часть:
36 = -6x
x = 36 / -6
x = -6
Проверка ОДЗ: x = -6, x != -5, условие выполняется.
Ответ: -6
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.375 и 0.625: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.6, по нижнему 0.625.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.375 · 0.6 = 0.225.
Нижний путь: 0.625 · 0.625 = 0.390625.
Складываем: 0.225 + 0.390625 = 0.615625.
Ответ: 0,615625
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) k > 0, b < 0
2) k < 0, b < 0
3) k < 0, b > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем знак коэффициента k по наклону и знак b по пересечению с осью Oy. Ответ: 312.
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 5 колец.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим n = 5 в формулу C = 6000 + 4100n.
C = 6000 + 4100·5 = 26500.
Ответ: 26 500.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 4)(x - 1) ≥ 0
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -4 и x = 1. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 1 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 1) >= 0 получаем решение (-∞;-4] ∪ [1;+∞). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 48 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 48 минут пройдёт 6 промежутков по 8 минут.
Тогда масса станет равна 200·(\(\frac{1}{2}\))^6 = 3,125 мг.
Ответ: 3,125.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
c² = 18² + 24² = 324 + 576 = 900.
Значит, c = 30.
Ответ: 30.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 56°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.
Следовательно, ∠CBD = 41°.
Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 56° - 41° = 15°.
Ответ: 15.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
При такой высоте большее основание делится на отрезки x и x + меньшее основание.
Следовательно, меньшее основание равно 7 - 4 = 3.
Ответ: 3.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
По клеткам основание равно 5, высота равна 8.
S = 5 · 8 / 2 = 20.
Ответ: 20.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно.
2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.
3) Верно.
Ответ: 13.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{(x-3)^2}-\frac{3}{x-3}-4=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=\frac{1}{x-3}\).
Шаг 1. После замены уравнение принимает вид:
\(t^2-3t-4=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t-4)(t+1)=0\).
Корни: \(t_1=4\), \(t_2=-1\).
Шаг 3. Обратная замена \(x=3+\frac{1}{t}\):
Если \(t=4\): \(x-3=\dfrac{1}{4}\Rightarrow x=\dfrac{13}{4}\).
Если \(t=-1\): \(x-3=-1\Rightarrow x=2\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne3\) — оба корня удовлетворяют.
Ответ: \(2;\quad \dfrac{13}{4}\).
Правильный ответ: 2;13/4
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 26 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 18 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.
По течению: 26 + x. Против течения: 26 − x.
Шаг 2. Составляем уравнение:
165/(26+x) + 5 + 165/(26−x) = 18.
Шаг 3. Переносим стоянку: 165/(26+x) + 165/(26−x) = 13.
Шаг 4. Умножаем на (26+x)(26−x) = 676−x²:
165(26−x) + 165(26+x) = 13(676−x²).
Шаг 5. Левая часть: 2·165·26 = 8580. Квадратное уравнение относительно x.
Шаг 6. Решение: x = 4.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{11}{2}\) + 5 + \(\frac{15}{2}\) = 18. ✓
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+1)((x+2))}{-2-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=x^2+1,\ x\ne -2 \).
После преобразования получаем параболу \( y=x^2+a \) с выколотой точкой при \( x=-2 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-2; 2; 2,5 \).
Ответ: \( -2; 2; 2,5 \).
Правильный ответ: -2; 2; 2,5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 71° и 79°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 17.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: применить теорему синусов BC/sin A = 2R.
Шаг 1. Находим угол A: A = 180° − 71° − 79° = 30°.
Шаг 2. По теореме синусов: BC/sin A = 2R.
Шаг 3. BC = 2R·sin 30° = 2·17·(\(\frac{1}{2}\)) = 17.
Ответ: 17.
Правильный ответ: 17
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L — середина AB.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы углов C и D перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.
Шаг 1. В параллелограмме ∠C + ∠D = 180° (смежные).
Биссектрисы делят углы пополам: ∠C/2 + ∠D/2 = 90°.
Значит в △L (треугольник при пересечении биссектрис) угол при L равен 90°.
Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла C.
Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),
значит расстояние от вершины до L равно половине смежной стороны.
Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем L — середина AB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 39 и CD = 12 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.
Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.
По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.
⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.
Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).
α + β = 60°.
Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.
AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.
Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).
При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.
AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).
Шаг 5. 39² + 12² + 39·12 = 3R².
2133 = 3R² ⟹ R² = 2133/3.
R = √711.
Ответ: √711.
Правильный ответ: √711
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.