Загрузка заданий...

Вариант 569 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,6 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	кладовая	спальня	санузел
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 7, кладовая — 6, спальня — 1, санузел — 8.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, кладовая, спальня, санузел.

Следовательно, ответ: 7618.

Ответ: 7618

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 40 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол на обеих лоджиях?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По плану площадь покрытия обеих лоджий составляет 60 клеток.

Площадь одной клетки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м, поэтому площадь равна 60 · 0,36 = 21,6 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 0,4 = 0,08 кв. м.

Нужно элементов: 21,6 / 0,08 = 270.

В одной упаковке 5 штук, значит понадобится 54 упаковки.

Ответ: 54.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь кладовой. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

По плану площадь нужного помещения составляет 24 клетки.

Площадь одной клетки: 0,6 · 0,6 = 0,36 кв. м.

Значит, площадь равна 24 · 0,36 = 8,64 кв. м.

Ответ: 8,64.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади кладовой?

Решение

Разбор: Задание 4 →

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 24) / 24) · 100% = 200%.

Ответ: 200.

5 Задание 5 1 балл

Модель	Вместимость барабана (кг)	Тип загрузки	Стоимость (руб.)	Стоимость подключения (руб.)	Стоимость доставки (% от стоимости машины)	Габариты (высота × ширина × глубина, см)
А	7	верт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Б	5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 40
В	5	фронт.	25 000	5 000	10	85 × 60 × 40
Г	6,5	фронт.	24 000	4 500	10	85 × 60 × 44
Д	6	фронт.	28 000	1 700	бесплатно	85 × 60 × 45
Е	6	верт.	27 600	2 300	бесплатно	89 × 60 × 40
Ж	6	верт.	27 585	1 900	10	89 × 60 × 40
З	6	фронт.	20 000	6 300	15	85 × 60 × 42
И	5	фронт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40
К	5	верт.	27 000	1 800	бесплатно	85 × 60 × 40

В квартире планируется установить стиральную машину. Характеристики стиральных машин, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить стиральную машину с фронтальной загрузкой вместимостью не менее 6 кг. Какая стиральная машина, удовлетворяющая этим условиям, обойдётся дешевле всего с учётом доставки и подключения? В ответе запишите стоимость этой покупки в рублях.

Решение

Разбор: Задание 5 →

Проверяем модели, которые удовлетворяют условию задачи.

Модель Г: 24 000 + 4 500 + доставка: 10% от 24 000 = 2 400 руб. = 30 900 руб.

Модель Д: 28 000 + 1 700 + доставка бесплатная = 29 700 руб.

Модель З: 20 000 + 6 300 + доставка: 15% от 20 000 = 3 000 руб. = 29 300 руб.

Наименьшая стоимость у модели З: 29 300 руб.

Ответ: 29 300.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$15 : 0,125 + 0,015$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $15 : 0,125 + 0,015$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(15) : 0,125 = 120$.

Шаг 2: $(120) + 0,015 = 120,015$.

Ответ: $120,015$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

1 - a > 0

2 - a < 0

a > 1

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 1 < a < 2.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

2) 1 - a > 0 ⇔ a < 1 — неверно.

3) 2 - a < 0 ⇔ a > 2 — неверно.

4) a > 1 ⇔ a > 1 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{250} + \sqrt{250})\sqrt{10}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√250 + √250)·√10.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √250 = 5√10, √250 = 5√10.

Тогда получаем (5√10 + 5√10)·√10 = 10√10·√10.

Так как √10·√10 = 10, имеем 10·10 = 100.

Ответ: 100.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 6x - 7 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² + 6x - 7 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 6, c = -7.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 6² - 4·1·-7 = 64.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-6 - √64) / 2 = -7

x₂ = (-6 + √64) / 2 = 1

Ответ: -7;1

10 Статистика, вероятности 1 балл

У бабушки 50 чашек: 35 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 15 (чашка с синими цветами).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{15}{50}$ = 0,3.

Ответ: 0,3.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = 3x - 4$

2) $y = 2x + 2$

3) $y = -3x + 2$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 231.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 9,5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 48,735 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 48,735/(9,5²) = 0,54.

Ответ: 0,54.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} -1,5 − 4x \leqslant 32,1 \\ -1,5 − 6x < 42,9 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-7,4;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 6,3 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 5 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 6,3 м, q = $\frac{1}{3}$.

Пороговая высота равна 5 см = 0,05 м.

После 5-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 6-го прыжка уже меньше.

Ответ: 6.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 38°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.

Другой острый угол равен 90° - 38° = 52°.

Ответ: 52.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 36√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Для квадрата R = a√2 / 2.

Значит, a = R·√2 = 36√2 · √2 = 72.

Ответ: 72.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 102°. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Значит сумма равных углов равна 102°, каждый из них равен 51°.

Искомый угол: 129°.

Ответ: 129.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 8 и 4.

Большая диагональ равна 8.

Ответ: 8.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Верно.

3) Неверно.

Ответ: 12.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $\frac{1}{(x-3)^2}-\frac{3}{x-3}-4=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=\frac{1}{x-3}$.

Шаг 1. После замены уравнение принимает вид:

$t^2-3t-4=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t-4)(t+1)=0$.

Корни: $t_1=4$, $t_2=-1$.

Шаг 3. Обратная замена $x=3+\frac{1}{t}$:

Если $t=4$: $x-3=\dfrac{1}{4}\Rightarrow x=\dfrac{13}{4}$.

Если $t=-1$: $x-3=-1\Rightarrow x=2$.

Шаг 4. ОДЗ: $x\ne3$ — оба корня удовлетворяют.

Ответ: $2;\quad \dfrac{13}{4}$.

Правильный ответ: 2;13/4

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два автомобиля одновременно отправляются в 880-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.

Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 30) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 3 ч раньше, значит его время меньше:

880/x − 880/(x+30) = 3.

Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+30):

880·(x+30) − 880·x = 3·x·(x+30).

Шаг 4. Левая часть упрощается до 880·30 = 26400. Получаем:

3x² + 90x − 26400 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 90² + 4·3·26400 = 324900, √D = 570.

x = (−90 + 570) / (2·3) = 80 (берём положительный корень).

Шаг 6. Скорость первого: 80 + 30 = 110 км/ч.

Ответ: 110.

Правильный ответ: 110

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2+4x+4,& x\ge -5,\\-\dfrac{45}{x},& x<-5.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪[9;+∞).

Ответ: {0}∪[9;+∞).

Правильный ответ: {0}∪[9;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 12 + 3 = 15.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 15 и катетом DH = 12.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(15² − 12²) = √(81) = 9.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.

Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).

Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).

Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.

Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 12 и 13, а основание BC равно 4. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 12 + 4... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 5, AB = 12, CD = 13, BC = 4.

Шаг 3. AD = BC + AB = 4 + 12 = 16.

S = (BC + AD)/2 · h = (4 + 16)/2 · 5 = 78.

Ответ: 78.

Правильный ответ: 78

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.