Загрузка заданий...

Вариант 648 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,4 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	коридор	спальня	кухня	гостиная
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: коридор — 1, спальня — 2, кухня — 3, гостиная — 8.

В таблице объекты стоят в порядке: коридор, спальня, кухня, гостиная.

Следовательно, ответ: 1238.

Ответ: 1238

2 Задание 2 1 балл

Плитка для пола размером 40 см на 40 см продаётся в упаковках по 7 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в санузле?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По плану площадь покрытия санузла составляет 36 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м, поэтому площадь равна 36 · 0,16 = 5,76 кв. м.

Площадь одной плитки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.

Нужно элементов: 5,76 / 0,16 = 36.

В одной упаковке 7 штук, значит понадобится 6 упаковок.

Ответ: 6.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь меньшей лоджии. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

По плану площадь нужного помещения составляет 27 клеток.

Площадь одной клетки: 0,4 · 0,4 = 0,16 кв. м.

Значит, площадь равна 27 · 0,16 = 4,32 кв. м.

Ответ: 4,32.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади кладовой?

Решение

Разбор: Задание 4 →

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 24 клетки.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 24) / 24) · 100% = 200%.

Ответ: 200.

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «800»	900 руб. за 800 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 800 Мб
План «1000»	1 050 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	1 100 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 850 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 850 Мб?

Решение

Разбор: Задание 5 →

Считаем стоимость интернета при трафике 850 Мб:

План «800»: 900 + 50 · 2 = 1 000 руб.

План «1000»: 1 050 руб.

План «Безлимитный»: 1 100 руб.

Самым дешёвым оказывается План «800»: 1 000 руб.

Ответ: 1 000.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,5 \cdot 0,008 + 0,6$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,5 \cdot 0,008 + 0,6$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,5) \cdot 0,008 = 0,004$.

Шаг 2: $(0,004) + 0,6 = 0,604$.

Ответ: $0,604$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами $-\frac{13}{10}$ и 1,25?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-1,4

$-\frac{13}{4}$

4,72

$-\frac{3}{40}$

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа $-\frac{13}{10}$ и 1,25. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 4 ($-\frac{3}{40}$) лежит между этими числами.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{18} + \sqrt{32})\sqrt{2}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√18 + √32)·√2.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √18 = 3√2, √32 = 4√2.

Тогда получаем (3√2 + 4√2)·√2 = 7√2·√2.

Так как √2·√2 = 2, имеем 7·2 = 14.

Ответ: 14.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 5x + 18 = 58

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: 5x + 18 = 58

Перенесём 18 в правую часть:

5x = 58 - 18

5x = 40

Разделим обе части на 5:

x = 40 / 5

x = 8

Ответ: 8

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 115 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 85 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 85/200 = 0,425.

Ответ: 0,425.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = -2x^2 - 6x + 1$

Б) $y = \dfrac{4}{5}x + 2$

В) $y = \dfrac{1}{10x}$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 132.

Ответ: 132

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 185 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_F = 185 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(185 − 32)/9 = 85.

Ответ: 85.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 2)(x - 6) ≥ 0

(-∞;-2] ∪ [6;+∞)

(-∞;-2]

(-∞;-2)

(-2;6)

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -2 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -2 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 2)(x - 6) >= 0 получаем решение (-∞;-2] ∪ [6;+∞). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 12 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 150 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 12, q = 3.

За 150 минут пройдёт 5 промежутков по 30 минут.

Получаем массу 12·3^5 = 2916 мг.

Ответ: 2916.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 3/5, BC = 30. Найдите AC.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.

Значит, AC = BC · tg B = 30 · $\frac{3}{5}$ = 18.

Ответ: 18.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 12, BC = 10, CD = 22. Найдите AD.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

То есть AB + CD = BC + AD.

AD = AB + CD - BC = 12 + 22 - 10 = 24.

Ответ: 24.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание, если высота равна 5, меньшее основание равно 3, а угол при основании равен 45°.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

При угле 45° каждый из двух боковых прямоугольных треугольников имеет горизонтальный катет, равный высоте.

Прибавляем по 5 с каждой стороны к меньшему основанию: 3 + 2·5 = 13.

Ответ: 13.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 5 и 12.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.

Ответ: 13.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно: по определению окружности.

2) Неверно: площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

3) Верно: 1 + 2 < 4, не выполняется неравенство треугольника.

Ответ: 13.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}x^2+y=5,\\6x^2-y=2.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: сложим оба уравнения, чтобы $y$ сократился.

Шаг 1. Складываем уравнения:

$(x^2+y)+(6x^2-y)=5+2\Rightarrow 7x^2=7$.

Шаг 2. Отсюда $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$ из первого уравнения:

$y=5-x^2=5-1=4$ (одинаково для обоих $x$).

Ответ: $(-1;\,4);\ (1;\,4)$.

Правильный ответ: (-1;4);(1;4)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: скорость против течения = v − u, по течению = v + u; время обратного пути меньше.

Шаг 1. Пусть собственная скорость лодки равна x км/ч.

Скорость против течения: x − 5. По течению: x + 5.

Шаг 2. Составляем уравнение (путь против течения занял на 5 ч больше):

132/(x − 5) − 132/(x + 5) = 5.

Шаг 3. Умножаем на (x−5)(x+5) = x²−25:

132(x+5) − 132(x−5) = 5(x²−25).

Шаг 4. Левая часть: 132·2·5 = 1320. Получаем квадратное уравнение:

5x² − 1320 − 125 = 0.

Шаг 5. Решение (берём положительный корень): x = 17.

Шаг 6. Проверка: 132/12 = 11 ч, 132/22 = 6 ч, разность 5 ч. ✓

Ответ: 17.

Правильный ответ: 17

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+4)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+4),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-5; -4; 4 $.

Ответ: $ -5; -4; 4 $.

Правильный ответ: -5; -4; 4

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 10, AC = 30, NC = 14.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.

Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = $\frac{10}{30}$ = $\frac{1}{3}$.

Шаг 2. Из подобия: BN/BC = $\frac{1}{3}$, то есть BN = 1·BC/3.

Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 14.

Подставляем: BN = 1·(BN + 14)/3.

3·BN = 1·BN + 1·14.

(3−1)·BN = 14 ⟹ BN = 14/(3−1) = 7.

Ответ: 7.

Правильный ответ: 7

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Окружности

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ пересекаются в точках X и Y, причём точки O₁ и O₂ лежат по одну сторону от прямой XY. Докажите, что прямые O₁O₂ и XY перпендикулярны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.

Шаг 1. O₁X = O₁Y (оба — радиусы первой окружности).

⟹ точка O₁ равноудалена от X и Y

⟹ O₁ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку XY.

Шаг 2. O₂X = O₂Y (оба — радиусы второй окружности).

⟹ точка O₂ тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.

Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.

Прямая O₁O₂ совпадает с серединным перпендикуляром к XY.

Следовательно, O₁O₂ ⟂ XY. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−6, 0), D = (6, 0) (|AD| = 12).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (12, h). На прямой BE точка E = (0, 12 − h), так как BE = 12.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{12}{4}$ = 9.

Шаг 5. AB = √(h² + (6)²) = √(81 + 36) = 3√13;

BC = 2·AB = 6√13; CA = 9√5.

Ответ: 3√13; 6√13; 9√5.

Правильный ответ: 3√13; 6√13; 9√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.