Загрузка заданий...

Вариант 658 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.

Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.

1 Задание 1 1 балл

Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A0, A2, A3 и A5.

В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A0, A2, A3, A5.

Номер листа	Длина (мм)	Ширина (мм)
1	594	420
2	420	297
3	1189	841
4	210	148

Решение

Разбор: Листы бумаги →

A0 — 1189 × 841 мм, это №3. A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A5 — 210 × 148 мм, это №4. Ответ: 3124.

2 Задание 2 1 балл

Сколько листов формата A4 получится из одного листа формата A1?

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Из A1 получают 2 листа A2, из каждого A2 — 2 листа A3, из каждого A3 — 2 листа A4. Всего 2 · 2 · 2 = 8 листов A4. Ответ: 8.

3 Задание 3 1 балл

Найдите ширину листа бумаги формата A4. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Ширина равна 210 мм, округление не меняет значение. Ответ: 210.

4 Задание 4 1 балл

Найдите отношение длины большей стороны листа формата A1 к меньшей. Ответ округлите до десятых.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

Формат A1 имеет размеры примерно 841 × 594 мм. Отношение большей стороны к меньшей: 841 : 594 ≈ 1,416. Округляем до десятых: 1,4. Ответ: 1,4.

5 Задание 5 1 балл

Размер типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Какой высоты нужен шрифт, чтобы текст был расположен на листе формата A5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата A4? Размер шрифта округляется до целого.

Решение

Разбор: Листы бумаги →

При переходе от A4 к A5 линейные размеры уменьшаются в √2 раза. Размер шрифта: 16 : √2 ≈ 11,3. Округляем до целого: 11. Ответ: 11.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{40} : \frac{1}{8} \cdot 12,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{40} : \frac{1}{8} \cdot 12,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{40}) : \frac{1}{8} = 0,2$.

Шаг 2: $(0,2) \cdot 12,5 = 2,5$.

Получили результат $2,5$.

Ответ: $2,5$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

$\frac{1}{a} < 0$

a < -5

a + 4 > 0

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что -5 < a < -4.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

2) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — верно.

3) a < -5 ⇔ a < -5 — неверно.

4) a + 4 > 0 ⇔ a > -4 — неверно.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{96} + \sqrt{24})\sqrt{6}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√96 + √24)·√6.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √96 = 4√6, √24 = 2√6.

Тогда получаем (4√6 + 2√6)·√6 = 6√6·√6.

Так как √6·√6 = 6, имеем 6·6 = 36.

Ответ: 36.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -7x + 6y = -84 \\ 4x + 3y = 3 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Система уравнений →

Решим систему:

-7x + 6y = -84

4x + 3y = 3

Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 4, а второе — на -7.

Получим:

$(-7x + 6y = -84) \cdot 4$: -28x + 24y = -336

$(4x + 3y = 3) \cdot -7$: -28x - 21y = -21

Вычтем второе уравнение из первого:

45y = -315

y = -315 / 45 = -7

Подставим y = -7 в первое уравнение:

-7x + 6y = -84

Получаем x = 6.

Ответ: (6;-7)

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 2 чёрных, 31 жёлтых и 7 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 31 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{31}{40}$ = 0,775.

Ответ: 0,775.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = 3x + 3$

2) $y = -x + 2$

3) $y = -\dfrac{1}{2}x - 2$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 132.

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) длительностью более 5 минут рассчитывается по формуле C = 150 + 11(t − 5), где t – длительность поездки (в минутах). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 15-минутной поездки.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t = 15 в формулу C = 150 + 11(t − 5).

C = 150 + 11·(15 − 5) = 260.

Ответ: 260.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 6)(x - 8) < 0

(-6;8)

(-∞;-6) ∪ (8;+∞)

(8;+∞)

[-6;8]

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -6 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -6 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 6)(x - 8) < 0 получаем решение (-6;8). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,2 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 5 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 3,2 м, q = $\frac{1}{3}$.

Пороговая высота равна 5 см = 0,05 м.

После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.

Ответ: 5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 18, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 18 · 23 = 414/2 = 207.

Ответ: 207.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана около окружности, AB = 11, BC = 5, CD = 9. Найдите AD.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

Для трапеции ABCD: AB + CD = AD + BC.

AD = AB + CD - BC = 11 + 9 - 5 = 15.

Ответ: 15.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 12, AB = 26. Найдите AC.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Значит, BD = 2·BO = 2·12 = 24.

Так как AC = BD, получаем:

AC = 24.

Ответ: 24.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.

По клеткам их длины равны 12 и 4.

Большая диагональ равна 12.

Ответ: 12.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

Биссектрисы треугольника пересекаются в точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно: сумма всех углов 180°.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите уравнение: $(x+2)^4+(x+2)^2-12=0$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: замена $t=(x+2)^2\ge0$.

Шаг 1. После замены:

$t^2+t-12=0$.

Шаг 2. Разложим: $(t+4)(t-3)=0$.

Корни: $t_1=-4$, $t_2=3$.

Шаг 3. Берём только $t=3$ (так как $t\ge0$).

Шаг 4. Решаем $(x+2)^2=3$:

$x+2=\pm\sqrt{3}\Rightarrow x=-2\pm\sqrt{3}$.

Ответ: $-2-\sqrt{3};\quad -2+\sqrt{3}$.

Правильный ответ: -2-√3;-2+√3

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два велосипедиста одновременно отправляются в 112-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 9 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время движения.

Шаг 1. Пусть скорость второго велосипедиста равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 9) км/ч.

Шаг 2. Первый прибывает на 4 ч раньше:

112/x − 112/(x+9) = 4.

Шаг 3. Умножаем на x·(x+9):

112·9 = 4·x·(x+9).

Шаг 4. Квадратное уравнение: 4x² + 36x − 1008 = 0.

Шаг 5. D = 17424, √D = 132.

x = (−36 + 132) / (2·4) = 12 (скорость второго).

Ответ: 12.

Правильный ответ: 12

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 6|x| - 6\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 6x - 6.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 6x - 6.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -6. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -6.

Проверка: при m = -6 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.

Ответ: -6.

Правильный ответ: -6

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 15 и CH = 2. Найдите высоту ромба.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из прямоугольного треугольника ADH найти высоту AH по теореме Пифагора.

Шаг 1. Находим сторону ромба: AD = CD = DH + CH = 15 + 2 = 17.

Шаг 2. AH ⊥ CD, значит △ADH — прямоугольный с гипотенузой AD = 17 и катетом DH = 15.

Шаг 3. AH = √(AD² − DH²) = √(17² − 15²) = √(64) = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N — середина CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов A и B перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠A + ∠B = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠A/2 + ∠B/2 = 90°.

Значит в △N (треугольник при пересечении биссектрис) угол при N равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла A.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до N равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем N — середина CD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 15 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.

Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 7 (радиус вписанной окружности).

Шаг 2. dist(O, AD) = 15. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.

dist(O, AB) = r = 7 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).

Шаг 3. OA = 25 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:

Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).

Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.

Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·7 = 14.

Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).

Площадь = BC · h = ... = 924.

Ответ: 924.

Правильный ответ: 924

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.