Загрузка заданий...
Вариант 723 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 297 | 210 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна \(\frac{1}{32}\) м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A1 равна половине площади A0: \(\frac{1}{2}\) м². Масса одного листа: 120 · \(\frac{1}{2}\) = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,009 : \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,009 : \frac{1}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,009) : \frac{1}{5} = 0,045\).
Получили результат \(0,045\).
Ответ: \(0,045\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что 2 < a < 3.
Проверим варианты ответа:
1) \(\frac{1}{a} < 0\) ⇔ a < 0 — неверно.
2) a > 2 ⇔ a > 2 — верно.
3) a < 2 ⇔ a < 2 — неверно.
4) 3 - a < 0 ⇔ a > 3 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(4\sqrt{10})^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (4√10)².
Используем свойство степени произведения: (4√10)² = 4² · (√10)².
Получаем 16 · 10 = 160.
Ответ: 160.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -5x + 8y = -22 \\ -2x - y = -13 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-5x + 8y = -22
-2x - y = -13
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -2, а второе — на -5.
Получим:
\((-5x + 8y = -22) \cdot -2\): 10x - 16y = 44
\((-2x - y = -13) \cdot -5\): 10x + 5y = 65
Вычтем второе уравнение из первого:
-21y = -21
y = -21 / -21 = 1
Подставим y = 1 в первое уравнение:
-5x + 8y = -22
Получаем x = 6.
Ответ: (6;1)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.875 и 0.125: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.25, по нижнему 0.25.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.875 · 0.25 = 0.21875.
Нижний путь: 0.125 · 0.25 = 0.03125.
Складываем: 0.21875 + 0.03125 = 0.25.
Ответ: 0,25
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 312.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 30 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 1 470 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 1 470/(9,8·30) = 5.
Ответ: 5.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 0,3 − 6x \geqslant 18,3 \\ 1,2 − 6x < 19,2 \end{cases}$$
1
2
3
4
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 5 секунд торможения?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Пройденный путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 20, d = -3, n = 5.
Сумма первых 5 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 5(2·20 + 4·(-3))/2 = 70.
Ответ: 70.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = \(\frac{1}{2}\) · 8 · 22 = 176/2 = 88.
Ответ: 88.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона квадрата равна 24√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Диагональ квадрата равна a√2.
Если a = 24√2, то d = 24√2 · √2 = 48.
Радиус описанной окружности равен половине диагонали.
R = d / 2 = 48 / 2 = 24.
Ответ: 24.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 4 и 6, а высота равна 4. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
m = (4 + 6) / 2 = 5.
Ответ: 5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 7, высота равна 4.
S = 7 · 4 = 28.
Ответ: 28.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(62a-8b+53\), если \(\dfrac{2a-8b+7}{8a-2b+7}=8\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(62a-8b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(2a-8b+7 = 8(8a-2b+7)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(2a-8b+7 = 64a-16b+56\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 62a-8b+49\), откуда \(62a-8b = -49\).
Шаг 4. Вычисляем: \(62a-8b+53 = -49+53 = 4\).
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 112 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время выполнения заказа, используя формулу t = N/p.
Шаг 1. Пусть второй рабочий делает x дет/ч, тогда первый — (x + 9) дет/ч.
Шаг 2. Время выполнения: вторым — 112/x ч, первым — 112/(x+9) ч.
Шаг 3. Второй тратит на 4 ч больше:
112/x − 112/(x+9) = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x+9):
112·(x+9) − 112·x = 4·x·(x+9).
1008 = 4·x² + 36·x.
4x² + 36x − 1008 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 36² + 4·4·1008 = 1296 + 16128 = 17424, √D = 132.
x = (−36 + 132) / (2·4) = 12 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: второй — 112/12 = \(\frac{28}{3}\) ч, первый — 112/21 = \(\frac{16}{3}\) ч.
\(\frac{28}{3}\) − \(\frac{16}{3}\) = 4 = 4. ✓
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{5x-8}{5x^2-8x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=8/5 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=8/5 \), откуда \( k=25/64 \).
Ответ: \(\frac{25}{64}\).
Правильный ответ: 25/64
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 4, CK = 12.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла A параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ABK.
Шаг 1. AB ∥ CD, значит биссектриса AK образует с AB угол ∠BAK = ∠A/2.
Угол ∠ABK = ∠A/2 (AB ∥ CD, накрест лежащие).
Значит △ABK равнобедренный: BK = AB.
Шаг 2. AB = BK = 4.
Шаг 3. BC = BK + CK = 4 + 12 = 16.
Шаг 4. Периметр = 2·(AB + BC) = 2·(4 + 16) = 40.
Ответ: 40.
Правильный ответ: 40
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AD и BC четырёхугольника пересекаются в точке K. Докажите, что треугольники KAB и KCD подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠CAD = ∠CBD (на дугу CD).
Шаг 2. ∠KAB = ∠KCD: опираются на дугу AB (как вписанные углы).
Шаг 3. ∠KBA = ∠KDC: опираются на дугу BC.
Шаг 4. По двум равным углам △KAB ∼ △KCD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 20. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.
Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.
Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.
Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.
Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−10, 0), D = (10, 0) (|AD| = 20).
В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.
Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (20, h). На прямой BE точка E = (0, 20 − h), так как BE = 20.
Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·\(\frac{20}{4}\) = 15.
Шаг 5. AB = √(h² + (10)²) = √(225 + 100) = 5√13;
BC = 2·AB = 10√13; CA = 15√5.
Ответ: 5√13; 10√13; 15√5.
Правильный ответ: 5√13; 10√13; 15√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.