Загрузка заданий...

Вариант 729 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 25.10.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,5 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Объекты	санузел	кладовая	спальня	гостиная
Цифры

Решение

Разбор: Задание 1 →

Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.

Получаем соответствие: санузел — 7, кладовая — 1, спальня — 8, гостиная — 5.

В таблице объекты стоят в порядке: санузел, кладовая, спальня, гостиная.

Следовательно, ответ: 7185.

Ответ: 7185

2 Задание 2 1 балл

Паркетная доска размером 20 см на 100 см продаётся в упаковках по 7 штук. Сколько упаковок паркетной доски понадобилось, чтобы выложить пол в коридоре?

Решение

Разбор: Задание 2 →

По плану площадь покрытия коридора составляет 144 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м, поэтому площадь равна 144 · 0,25 = 36 кв. м.

Площадь одной доски: 0,2 · 1 = 0,2 кв. м.

Нужно элементов: 36 / 0,2 = 180.

В одной упаковке 7 штук, значит понадобится 26 упаковок.

Ответ: 26.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь кухни. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Задание 3 →

По плану площадь нужного помещения составляет 72 клетки.

Площадь одной клетки: 0,5 · 0,5 = 0,25 кв. м.

Значит, площадь равна 72 · 0,25 = 18 кв. м.

Ответ: 18.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь кухни больше площади санузла?

Решение

Разбор: Задание 4 →

Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.

Первое помещение: 72 клетки, второе: 36 клеток.

На сколько процентов первое больше второго: ((72 − 36) / 36) · 100% = 100%.

Ответ: 100.

5 Задание 5 1 балл

Тарифный план	Абонентская плата	Плата за трафик
План «500»	600 руб. за 500 Мб трафика в месяц	2 руб. за 1 Мб сверх 500 Мб
План «1000»	820 руб. за 1000 Мб трафика в месяц	1,5 руб. за 1 Мб сверх 1000 Мб
План «Безлимитный»	900 руб. за неограниченное количество Мб трафика	—

В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 650 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 650 Мб?

Решение

Разбор: Задание 5 →

Считаем стоимость интернета при трафике 650 Мб:

План «500»: 600 + 150 · 2 = 900 руб.

План «1000»: 820 руб.

План «Безлимитный»: 900 руб.

Самым дешёвым оказывается План «1000»: 820 руб.

Ответ: 820.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{7}{5} + \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{7}{5} + \frac{1}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{7}{5}) + \frac{1}{1} = \frac{12}{5}$.

Получили дробь $\frac{12}{5}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $2,4$.

Ответ: $2,4$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

a > 8

$\frac{1}{a} < 0$

a - 7 < 0

$\frac{1}{a} > 0$

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 7 < a < 8.

Проверим варианты ответа:

1) a > 8 ⇔ a > 8 — неверно.

2) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

3) a - 7 < 0 ⇔ a < 7 — неверно.

4) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√3 - 2)(√3 + 2).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√3)² - 2² = 3 - 4 = -1.

Ответ: -1.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(-7x - 4)}{5} - \frac{(-5x - 9)}{5} + 3x = 14$$

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: (-7x - 4)/5 - (-5x - 9)/5 + 3x = 14

Домножим обе части на НОК знаменателей 5 и 5, то есть на 5.

Получим:

(-7x - 4) - (-5x - 9) + 15x = 70

Приведём подобные слагаемые:

13x + 5 = 70

Перенесём число в правую часть:

13x = 65

Разделим обе части на 13:

x = 65 / 13

x = 5

Ответ: 5

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события $B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Читаем дерево слева направо.

Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.875 и 0.125: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.

От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.85, по нижнему 0.1.

Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.

Верхний путь: 0.875 · 0.85 = 0.74375.

Нижний путь: 0.125 · 0.1 = 0.0125.

Складываем: 0.74375 + 0.0125 = 0.75625.

Ответ: 0,75625

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = 2x - 4$

2) $y = -3x + 4$

3) $y = -\dfrac{1}{2}x$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 321.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 167 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_F = 167 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(167 − 32)/9 = 75.

Ответ: 75.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 3x < 1,8 \\ 6x − 0,9 \geqslant -11,7 \end{cases}$$

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-1,8;0,6). Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 18 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 7 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 18, d = -7.

Последний положительный член прогрессии равен 4, значит секунд движения до полной остановки было 3.

Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 3·(18 + 4)/2 = 33.

Ответ: 33.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 9/7, BC = 42. Найдите AC.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.

Значит, AC = BC · tg B = 42 · $\frac{9}{7}$ = 54.

Ответ: 54.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 12, BC = 7, CD = 23. Найдите AD.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.

То есть AB + CD = BC + AD.

AD = AB + CD - BC = 12 + 23 - 7 = 28.

Ответ: 28.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 50°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

Угол A равен 180° - 50° = 130°.

Так как AC — биссектриса, ∠CAD = 130° / 2 = 65°.

В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° - 65° - 50° = 65°.

Ответ: 65.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 4 и 3.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

Ответ: 5.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Неверно.

3) Верно.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}9x^2-14x=y,\\9x-14=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: оба выражения равны $y$ — приравниваем их.

Шаг 1. Приравниваем правые части: $9x^2-14x=9x-14$.

Шаг 2. Переносим влево: $9x^2-23x+14=0$.

Шаг 3. Разложим: $(9x-14)(x-1)=0$.

Корни: $x=\dfrac{14}{9}$ или $x=1$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{14}{9}$: $y=9\cdot\dfrac{14}{9}-14=0$.

При $x=1$: $y=9-14=-5$.

Ответ: $\left(\dfrac{14}{9};\,0\right);\ (1;\,-5)$.

Правильный ответ: (14/9;0);(1;-5)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 2 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 9 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.

Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 5) км/ч.

Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 2 км.

Длина круга = x + 2 км.

Шаг 3. Второй пробежал круг 9 мин назад, то есть за (1 − $\frac{9}{60}$) = 0,85 ч.

Длина круга = (x + 5) · 0,85 км.

Шаг 4. Приравниваем: x + 2 = (x + 5) · 0,85.

Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 15 км/ч.

Ответ: 15.

Правильный ответ: 15

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}x^2-4x+4,& x\ge -1,\\-\dfrac{9}{x},& x<-1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: {0}∪[9;+∞).

Ответ: {0}∪[9;+∞).

Правильный ответ: {0}∪[9;+∞)

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 9, AC = 36.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: в прямоугольном треугольнике катет² = гипотенуза · проекция катета на гипотенузу.

Шаг 1. Точка H — основание высоты из B, значит AH — проекция катета AB на гипотенузу AC.

Шаг 2. По свойству: AB² = AH · AC = 9 · 36 = 324.

Шаг 3. AB = √324 = 18.

Ответ: 18.

Правильный ответ: 18

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.

Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.

Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 10 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 24, AB = 10, CD = 26, BC = 1.

Шаг 3. AD = BC + AB = 1 + 10 = 11.

S = (BC + AD)/2 · h = (1 + 11)/2 · 24 = 130.

Ответ: 130.

Правильный ответ: 130

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.