Загрузка заданий...
Вариант 240 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/70 R14.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 225.
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 185/65 R15?
Решение
Разбор: Шины →
В маркировке 185/65 R15 ширина шины равна 185 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 185 · 65 / 100 = 120.25 мм. Ответ: 120.25.
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/50 R16?
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и нового колеса 215/50 R16. Ответ: 6.8.
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/70 R14 получаем диаметр 614.6 мм. Ответ: 614.6.
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/55 R15? Результат округлите до десятых.
Решение
Разбор: Шины →
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и колеса 205/55 R15, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.3.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{3}{5} - \frac{1}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{3}{5} - \frac{1}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{3}{5}) - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}\).
Получили дробь \(\frac{2}{5}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,4\).
Ответ: \(0,4\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел расположено между числами -0,75 и \(\frac{104}{25}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа -0,75 и \(\frac{104}{25}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (3,8) лежит между этими числами.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$4^{-3} \cdot (4^3)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 4^(-3) · (4^3)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^3)^2 = 4^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-3 · 4^6 = 4^3.
Получаем 4^3 = 64.
Ответ: 64.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-4}{x + 6} = -4$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: -4/(x + 6) = -4
Область допустимых значений: x != -6.
Умножим обе части уравнения на x + 6:
-4 = -4(x + 6)
Раскроем скобки:
-4 = -4x - 24
Перенесём число в левую часть:
20 = -4x
x = 20 / -4
x = -5
Проверка ОДЗ: x = -5, x != -6, условие выполняется.
Ответ: -5
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 6 чёрных, 23 жёлтых и 11 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 23 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{23}{40}\) = 0,575.
Ответ: 0,575.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 14 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим C = 0,0002 и U = 14 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·14² / 2 = 0,0196.
Ответ: 0,0196.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
-4x - 4 ≥ 6x + 2
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: -4x - 4 >= 6x + 2.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -10x <= 6.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -10: x <= -0,6.
Значит, x меньше или равно -0,6.
Этому соответствует промежуток (-∞;-0,6].
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 20, d = -3.
Последний положительный член прогрессии равен 2, значит секунд движения до полной остановки было 7.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 7·(20 + 2)/2 = 77.
Ответ: 77.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 3/4, BC = 12. Найдите AC.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.
Значит, AC = BC · tg B = 12 · \(\frac{3}{4}\) = 9.
Ответ: 9.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Сторона квадрата равна 48. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен стороне квадрата.
Поэтому радиус равен половине стороны: r = 48 / 2 = 24.
Ответ: 24.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 12, AB = 56. Найдите AC.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
Значит, BD = 2·BO = 2·12 = 24.
Так как AC = BD, получаем:
AC = 24.
Ответ: 24.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.
По клеткам AC = 10.
Средняя линия равна 10 / 2 = 5.
Ответ: 5.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².
2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.
3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.
Ответ: 1.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(38a-58b+46\), если \(\dfrac{7a-5b+5}{5a-7b+5}=9\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(38a-58b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(7a-5b+5 = 9(5a-7b+5)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(7a-5b+5 = 45a-63b+45\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 38a-58b+40\), откуда \(38a-58b = -40\).
Шаг 4. Вычисляем: \(38a-58b+46 = -40+46 = 6\).
Ответ: 6.
Правильный ответ: 6
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два автомобиля одновременно отправляются в 600-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.
Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 20) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 1 ч раньше, значит его время меньше:
600/x − 600/(x+20) = 1.
Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+20):
600·(x+20) − 600·x = 1·x·(x+20).
Шаг 4. Левая часть упрощается до 600·20 = 12000. Получаем:
1x² + 20x − 12000 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 20² + 4·1·12000 = 48400, √D = 220.
x = (−20 + 220) / (2·1) = 100 (берём положительный корень).
Шаг 6. Скорость первого: 100 + 20 = 120 км/ч.
Ответ: 120.
Правильный ответ: 120
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2+4x-1,& x\ge -4,\\x,& x<-4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {-5}∪[-4;-1].
Ответ: {-5}∪[-4;-1].
Правильный ответ: {-5}∪[-4;-1]
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 40, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 21 и 20.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 21² + (AB/2)² = 21² + 20² = 841. R = 29.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 20 от центра:
(CD/2)² = R² − 20² = 841 − 400 = 441.
CD/2 = 21.
Шаг 3. CD = 2 · 21 = 42.
Ответ: 42.
Правильный ответ: 42
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые EF и CD перпендикулярны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: каждый центр лежит на серединном перпендикуляре к общей хорде.
Шаг 1. EC = ED (оба — радиусы первой окружности).
⟹ точка E равноудалена от C и D
⟹ E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CD.
Шаг 2. FC = FD (оба — радиусы второй окружности).
⟹ точка F тоже лежит на том же серединном перпендикуляре.
Шаг 3. Через два разных точки проходит единственная прямая.
Прямая EF совпадает с серединным перпендикуляром к CD.
Следовательно, EF ⟂ CD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=45 и R=55.
O₁O₂ = r + R = 100 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(55·45) = 2√2475 = 30√11.
Ответ: 30√11.
Правильный ответ: 30√11
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.