Загрузка заданий...
Вариант 2769 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
| Объекты | гараж | баня | жилой дом | яблони |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 1 →
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: гараж — 2, баня — 4, жилой дом — 7, яблони — 3.
В таблице объекты стоят в порядке: гараж, баня, жилой дом, яблони.
Получаем последовательность: 2473.
Ответ: 2473
2
Задание 2
1 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 4 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 2 →
На все дорожки нужно 25 плиток.
В одной упаковке 4 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 4⌉ = 7 упаковок.
Ответ: 7.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь открытого грунта огорода (вне теплицы). Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 3 →
Площадь огорода равна 120 кв. м, площадь теплицы — 12 кв. м. Площадь открытого грунта: 120 - 12 = 108 кв. м.
Ответ: 108.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь, которую занимает гараж, больше площади, которую занимает теплица?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 4 →
Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью теплицы: (48 - 12) / 12 · 100% = 300%.
Ответ: 300.
5
Задание 5
1 балл
| Нагреватель (котёл) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа / средн. мощность | Стоимость газа / электроэнергии | |
|---|---|---|---|---|
| Газовое отопление | 22 000 руб. | 20 105 руб. | 1,5 куб. м/ч | 4,9 руб./куб. м |
| Электр. отопление | 19 000 руб. | 16 000 руб. | 4,9 кВт | 4,4 руб./(кВт·ч) |
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 5 →
Начальные расходы на газовое отопление: 42105 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 35000 руб.
Разница в начальных расходах: 42105 - 35000 = 7105 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,5 · 4,9 = 7,35 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,4 = 21,56 руб./ч.
Экономия за час: 21,56 - 7,35 = 14,21 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 7105 / 14,21 = 500.
Ответ: 500.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$5 \cdot 5 + 0,01$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(5 \cdot 5 + 0,01\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((5) \cdot 5 = 25\).
Шаг 2: \((25) + 0,01 = 25,01\).
Ответ: \(25,01\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из следующих чисел заключено между числами -1,88 и 5?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа -1,88 и 5. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (\(\frac{4}{1}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{4} - 5)(\sqrt{4} + 5)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√4 - 5)(√4 + 5).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√4)² - 5² = 4 - 25 = -21.
Ответ: -21.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -x - 8y = -30 \\ 3x - y = 15 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-x - 8y = -30
3x - y = 15
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе — на -1.
Получим:
\((-x - 8y = -30) \cdot 3\): -3x - 24y = -90
\((3x - y = 15) \cdot -1\): -3x + 1y = -15
Вычтем второе уравнение из первого:
-25y = -75
y = -75 / -25 = 3
Подставим y = 3 в первое уравнение:
-x - 8y = -30
Получаем x = 6.
Ответ: (6;3)
10
Статистика, вероятности
1 балл
В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 90 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 100.
Благоприятных исходов: 10 (исправный фонарик).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = 10/100 = 0,1.
Ответ: 0,1.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a < 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 312.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула tC = 5(tF − 32)/9, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует 185 градусов по шкале Фаренгейта?
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t_F = 185 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.
t_C = 5·(185 − 32)/9 = 85.
Ответ: 85.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 < 16
1
2
3
4
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Из неравенства x² < 16 получаем границы x = ±4. Верное решение: (-4;4). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,5 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 7 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 4,5 м, q = \(\frac{1}{3}\).
Пороговая высота равна 7 см = 0,07 м.
После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.
Ответ: 5.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 10√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.
Получаем: 10√3 · √3 / 2 = 10·3 / 2 = 15.
Ответ: 15.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 120°, AB = 18√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
По теореме синусов AB = 2R·sin C.
Следовательно, R = AB / (2 sin 120°).
Подстановка даёт R = 18.
Ответ: 18.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 8, BD = 14, AB = 5. Найдите DO.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Следовательно, DO = BD / 2 = 14 / 2 = 7.
Ответ: 7.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=5: t=(5−1)/(7−1)=\(\frac{2}{3}\). x_A=1+\(\frac{2}{3}\)·3=3... нет, считаем по клеткам: A=(2,5), B=(6,5). AB=4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно.
2) Неверно: вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла.
3) Неверно.
Ответ: 1.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((x-7)^2<\sqrt{11}(x-7)\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перенести правую часть влево и вынести общий множитель \((x-7)\).
Шаг 1. Перенесём \(\sqrt{11}(x-7)\) влево:
\((x-7)^2-\sqrt{11}(x-7)<0\).
Шаг 2. Выносим \((x-7)\) за скобку:
\((x-7)\bigl[(x-7)-\sqrt{11}\bigr]<0\).
Шаг 3. Находим нули: первый множитель обращается в 0 при \(x=7\), второй — при \(x=7+\sqrt{11}\).
Шаг 4. Произведение двух линейных множителей отрицательно строго между их корнями.
Ответ: \((7;\; 7+\sqrt{11})\).
Правильный ответ: (7;7+√11)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 48 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.
Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 3 км/ч.
Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 48 км.
Время плота в пути: 48 / 3 = 16 ч.
Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:
16 − 1 = 15 ч.
Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:
108/(x+3) + 108/(x−3) = 15.
Шаг 5. Умножаем на (x+3)(x−3) и упрощаем: квадратное уравнение.
Шаг 6. Решение: x = 15.
Шаг 7. Проверка: 6 + 9 = 15. ✓
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{4x-5}{4x^2-5x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=5/4 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=5/4 \), откуда \( k=16/25 \).
Ответ: \(\frac{16}{25}\).
Правильный ответ: 16/25
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 33, AC = 55, NC = 14.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = \(\frac{33}{55}\) = \(\frac{3}{5}\).
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{3}{5}\), то есть BN = 3·BC/5.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 14.
Подставляем: BN = 3·(BN + 14)/5.
5·BN = 3·BN + 3·14.
(5−3)·BN = 42 ⟹ BN = 42/(5−3) = 21.
Ответ: 21.
Правильный ответ: 21
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках M и N не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении r:s. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как r:s.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы MA и NB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ MA ∥ NB.
Шаг 2. В треугольниках TMA и TNB (T — точка на MN):
∠ATM = ∠BTN (вертикальные), MA ∥ NB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TM/TN = r:s.
Шаг 3. TM/TN = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как r:s. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 11 и CD = 41 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.
Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.
По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.
⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.
Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).
α + β = 60°.
Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.
AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.
Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).
При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.
AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).
Шаг 5. 11² + 41² + 11·41 = 3R².
2253 = 3R² ⟹ R² = 2253/3.
R = √751.
Ответ: √751.
Правильный ответ: √751
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.