Загрузка заданий...

Вариант 3010 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/50 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 205.

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/50 R18?

Решение

Разбор: Шины →

В маркировке 205/50 R18 ширина шины равна 205 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 205 · 50 / 100 = 102.5 мм. Ответ: 102.5.

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/45 R17?

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/50 R16 и нового колеса 225/45 R17. Ответ: 12.9.

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/50 R16 получаем диаметр 621.4 мм. Ответ: 621.4.

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R16? Результат округлите до десятых.

Решение

Разбор: Шины →

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/50 R16 и колеса 225/50 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.6.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{3}) + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$.

Получили дробь $\frac{1}{2}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $0,5$.

Ответ: $0,5$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?

В ответе укажите номер правильного варианта.

-0,456

$\frac{\sqrt{15}}{2}$

$\frac{20}{9}$

$\frac{5}{2}$

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.

Сравним варианты по приближённым значениям:

1) -0,456 ≈ -0,456

2) $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ≈ 1,9365

3) $\frac{20}{9}$ ≈ 2,2222

4) $\frac{5}{2}$ ≈ 2,5

Точке A соответствует вариант 2.

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{108} + \sqrt{27})\sqrt{3}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√108 + √27)·√3.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √108 = 6√3, √27 = 3√3.

Тогда получаем (6√3 + 3√3)·√3 = 9√3·√3.

Так как √3·√3 = 3, имеем 9·3 = 27.

Ответ: 27.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 5 + 2(5x - 8) = 8x + 3

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: 5 + 2(5x - 8) = 8x + 3

Раскроем скобки:

5 + 2(5x - 8) = 8x + 3

5 + 10x - 16 = 8x + 3

Приведём подобные слагаемые в левой части:

10x - 11 = 8x + 3

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

2x = 14

Разделим обе части на 2:

x = 14 / 2

x = 7

Ответ: 7

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 200 карманных фонариков, поступивших в продажу, 93 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 200.

Благоприятных исходов: 107 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 107/200 = 0,535.

Ответ: 0,535.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y = -x^2 + 4x - 3$

Б) $y = \dfrac{1}{x}$

В) $y = \dfrac{1}{3}x + 2$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.

Ответ: 231

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует -100 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_C = -100 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(-100) + 32 = -148.

Ответ: -148.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 3)(x - 4) ≥ 0

(-∞;-3) ∪ (4;+∞)

(-∞;-3] ∪ [4;+∞)

(4;+∞)

(-3;4)

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -3 и x = 4. На числовой прямой отмечаем точки -3 и 4 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 3)(x - 4) >= 0 получаем решение (-∞;-3] ∪ [4;+∞). Это вариант 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 16 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 19 мест, а в восьмом ряду 23 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Ряды образуют арифметическую прогрессию.

Разность прогрессии: d = (23 - 19) / (8 - 4) = 1.

Тогда первый ряд: a₁ = a4 - (4 - 1)·d = 19 - 3·1 = 16.

Последний ряд: a16 = a₁ + (16 - 1)·d = 16 + 15·1 = 31.

Ответ: 31.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 142°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

Так как AB = BC, треугольник равнобедренный, а углы при основании равны.

Сумма углов при основании равна 180° - 142° = 38°.

Каждый из них равен 38° : 2 = 19°.

Ответ: 19.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 32. Найдите высоту этой трапеции.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Окружность касается обоих оснований трапеции.

Расстояние между основаниями равно сумме расстояний от центра окружности до каждого основания, то есть двум радиусам.

h = 2r = 2 · 32 = 64.

Ответ: 64.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

При угле 45° высота равна половине разности оснований.

h = (7 - 4) / 2 = 1,5.

S = (4 + 7) / 2 · 1,5 = 8,25.

Ответ: 8,25.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=4: t=(7−4)/(7−1)=$\frac{1}{2}$. x_A=2,5, x_B=5,5. AB=3.

Ответ: 3.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2+y^2=61,\\15x^2+3y^2=61x.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: умножим первое уравнение на 3.

Шаг 1. Умножаем первое на 3: $15x^2+3y^2=183$.

Шаг 2. По второму: $15x^2+3y^2=61x$.

Шаг 3. Приравниваем правые части:

$183=61x\Rightarrow x=3$.

Шаг 4. Подставляем $x=3$:

$5\cdot9+y^2=61\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm4$.

Ответ: $(3;\,-4);\ (3;\,4)$.

Правильный ответ: (3;-4);(3;4)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 82% воды, а высушенные — 29%. Сколько сухих фруктов получится из 284 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Свежие фрукты содержат 82% воды, значит сухого вещества 18%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 284 кг свежих фруктов:

284 · 18/100 = 51,12 кг.

Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 29% воды, значит сухого вещества 71%.

Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,71·x = 51,12.

x = 51,12 / 0,71 = 72 кг.

Ответ: 72.

Правильный ответ: 72

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 2|x| + 1\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 2x + 1.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 2x + 1.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 1. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 1.

Проверка: при m = 1 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: 1.

Правильный ответ: 1

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 100 и 145. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.

Шаг 1. Второй катет: √(145² − 100²) = √11025 = 105.

Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 100·105/2 = 5250.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу 145 и высоту h к ней: S = 145·h/2.

Шаг 4. Из равенства площадей: h = 100·105/145 = 2100/29.

Ответ: 2100/29.

Правильный ответ: 2100/29

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.

Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать свойства касательной трапеции и подобие треугольников, образованных диагоналями.

Шаг 1. Вписанная окружность в трапецию: a + b = 2l (сумма оснований = сумма боковых сторон).

P = 2(a+b) = 220 ⟹ a+b = 110.

Шаг 2. Высота: S = (a+b)·h/2 ⟹ h = 2S/(a+b) = 2·2420/110 = 44.

Шаг 3. Находим основания. Для равнобедренной касательной трапеции:

Из системы a+b=110 и пифагорова прямоугольного треугольника с высотой h=44:

a = 22, b = 88.

Шаг 4. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, делящей высоту в отношении a:b.

Расстояние от O до меньшего основания = h·a/(a+b) = 44·22/110 = 8,8.

Ответ: 8,8.

Правильный ответ: 8,8

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.