Загрузка заданий...
Вариант 310 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На рисунке изображён план двухкомнатной квартиры в многоэтажном жилом доме. Сторона одной клетки на плане соответствует 0,8 м, а условные обозначения двери и окна приведены в правой части рисунка. Вход в квартиру находится в коридоре. Слева от входа в квартиру находится санузел, а в противоположном конце коридора — дверь в кладовую. Рядом с кладовой находится спальня, из которой можно пройти на одну из застеклённых лоджий. Самое большое по площади помещение — гостиная, откуда можно попасть в коридор и на кухню. Из кухни также можно попасть на застеклённую лоджию.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
| Объекты | коридор | санузел | спальня | гостиная |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Задание 1 →
Сопоставляем описание помещений с планом квартиры.
Получаем соответствие: коридор — 4, санузел — 7, спальня — 5, гостиная — 8.
В таблице объекты стоят в порядке: коридор, санузел, спальня, гостиная.
Следовательно, ответ: 4758.
Ответ: 4758
2
Задание 2
1 балл
Плитка для пола размером 30 см на 40 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить пол в кладовой?
Решение
Разбор: Задание 2 →
По плану площадь покрытия кладовой составляет 24 клетки.
Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м, поэтому площадь равна 24 · 0,64 = 15,36 кв. м.
Площадь одной плитки: 0,3 · 0,4 = 0,12 кв. м.
Нужно элементов: 15,36 / 0,12 = 128.
В одной упаковке 5 штук, значит понадобится 26 упаковок.
Ответ: 26.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь гостиной. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Разбор: Задание 3 →
По плану площадь нужного помещения составляет 154 клетки.
Площадь одной клетки: 0,8 · 0,8 = 0,64 кв. м.
Значит, площадь равна 154 · 0,64 = 98,56 кв. м.
Ответ: 98,56.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь санузла больше площади кладовой?
Решение
Разбор: Задание 4 →
Площадь помещений пропорциональна числу клеток на плане.
Первое помещение: 36 клеток, второе: 24 клетки.
На сколько процентов первое больше второго: ((36 − 24) / 24) · 100% = 50%.
Ответ: 50.
5
Задание 5
1 балл
| Тарифный план | Абонентская плата | Плата за трафик |
|---|---|---|
| План «600» | 650 руб. за 600 Мб трафика в месяц | 2 руб. за 1 Мб сверх 600 Мб |
| План «900» | 820 руб. за 900 Мб трафика в месяц | 1,5 руб. за 1 Мб сверх 900 Мб |
| План «Безлимитный» | 950 руб. за неограниченное количество Мб трафика | — |
В квартире планируется подключить интернет. Предполагается, что трафик составит 1000 Мб в месяц, и исходя из этого выбирается наиболее дешёвый вариант. Интернет-провайдер предлагает три тарифных плана. Сколько рублей нужно будет заплатить за интернет за месяц, если трафик действительно будет равен 1000 Мб?
Решение
Разбор: Задание 5 →
Считаем стоимость интернета при трафике 1000 Мб:
План «600»: 650 + 400 · 2 = 1 450 руб.
План «900»: 820 + 100 · 1,5 = 970 руб.
План «Безлимитный»: 950 руб.
Самым дешёвым оказывается План «Безлимитный»: 950 руб.
Ответ: 950.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{7}{6} + \frac{1}{10} - \frac{7}{6}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{7}{6} + \frac{1}{10} - \frac{7}{6}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{7}{6}) + \frac{1}{10} = \frac{19}{15}\).
Шаг 2: \((\frac{19}{15}) - \frac{7}{6} = \frac{1}{10}\).
Получили дробь \(\frac{1}{10}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,1\).
Ответ: \(0,1\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что -6 < a < -5.
Проверим варианты ответа:
1) a + 5 > 0 ⇔ a > -5 — неверно.
2) a > -6 ⇔ a > -6 — верно.
3) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
4) -6 - a > 0 ⇔ a < -6 — неверно.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$4^{-2} \cdot (4^3)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 4^(-2) · (4^3)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (4^3)^2 = 4^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 4^-2 · 4^6 = 4^4.
Получаем 4^4 = 256.
Ответ: 256.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 6x + 17 = 35
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 6x + 17 = 35
Перенесём 17 в правую часть:
6x = 35 - 17
6x = 18
Разделим обе части на 6:
x = 18 / 6
x = 3
Ответ: 3
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 13 чёрных, 23 жёлтых и 4 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 23 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{23}{40}\) = 0,575.
Ответ: 0,575.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) \(y = -2x + 4\)
Б) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 4\)
В) \(y = -x + 4\)
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 312.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 30 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим C = 0,0002 и U = 30 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·30² / 2 = 0,09.
Ответ: 0,09.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
x2 - 36 ≤ 0
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Решаем x² - 36 <= 0. Нули: x = -6 и x = 6. Верное решение: [-6;6]. Это вариант 3.
Ответ: 3
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 8 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 120 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 8, q = 3.
За 120 минут пройдёт 4 промежутков по 30 минут.
Получаем массу 8·3^4 = 648 мг.
Ответ: 648.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC известно, что AB = 14, BC = 5, sin ∠ABC = 6/7. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними вычисляется по формуле:
S = \(\frac{1}{2}\) · AB · BC · sin∠ABC.
S = \(\frac{1}{2}\) · 14 · 5 · \(\frac{6}{7}\) = 420/14 = 30.
Ответ: 30.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 59°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Угол ACB — вписанный и опирается на дугу AB, значит центральный угол AOB равен 2·∠ACB.
∠AOB = 2 · 59° = 118°.
Так как AC и BD — диаметры, лучи OA и OC противоположны, а OB и OD противоположны.
Значит, ∠AOD и ∠AOB — смежные центральные углы.
∠AOD = 180° - 118° = 62°.
Ответ: 62.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 20, а tg ∠BCA = 0,25. Найдите площадь ромба.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам.
Поэтому tg ∠BCA = BO / CO = BD / AC.
Следовательно, BD = AC · tg ∠BCA = 20 · 0,25 = 5.
S = AC · BD / 2 = 20 · 5 / 2 = 50.
Ответ: 50.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
По клеткам основания равны 4 и 10, высота равна 4.
S = (4 + 10) / 2 · 4 = 28.
Ответ: 28.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(a-55b+54\), если \(\dfrac{7a-b+6}{a-7b+6}=8\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(a-55b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(7a-b+6 = 8(a-7b+6)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(7a-b+6 = 8a-56b+48\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = a-55b+42\), откуда \(a-55b = -42\).
Шаг 4. Вычисляем: \(a-55b+54 = -42+54 = 12\).
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 100 литров она заполняет на 6 минут быстрее, чем первая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 15) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 100/(x−15) мин, второй — 100/x мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 6 мин дольше:
100/(x−15) − 100/x = 6.
Шаг 4. Умножаем на x(x−15):
100·x − 100·(x−15) = 6·x·(x−15).
1500 = 6·x² − 90·x.
6x² − 90x − 1500 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 90² + 4·6·1500 = 8100 + 36000 = 44100, √D = 210.
x = (90 + 210) / (2·6) = 25 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 100/10 = 10 мин, вторая — 100/25 = 4 мин.
10 − 4 = 6 = 6. ✓
Ответ: 25.
Правильный ответ: 25
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{6x+7}{6x^2+7x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Вынесем x в знаменателе и сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-7/6 \).
Пересечение с прямой \( y=kx \) задаётся уравнением \( \frac1x = kx \), то есть \( x^2=\frac1k \).
Обычно при \( k>0 \) получаются две точки пересечения. Ровно одна общая точка будет тогда, когда одна из них совпадёт с выколотой точкой.
Это происходит при \( x=-7/6 \), откуда \( k=36/49 \).
Ответ: \(\frac{36}{49}\).
Правильный ответ: 36/49
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 15.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол вписанный в диаметр = 90° — точки P и K лежат на окружности с диаметром BH.
Шаг 1. Так как BH — диаметр, любой вписанный угол, опирающийся на него, равен 90°.
Значит ∠BPH = 90° и ∠BKH = 90°, то есть P и K — основания перпендикуляров из H.
Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABC точка H — основание высоты из B.
Четырёхугольник BPHK — прямоугольник (у него все углы прямые).
Шаг 3. В прямоугольнике PK = BH (противоположные стороны).
PK = BH = 15.
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 3 и 48, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти два равных угла у треугольников CBD и BDA.
Шаг 1. BC ∥ AD ⟹ ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие при секущей BD).
Шаг 2. Проверим соотношение сторон: BC/BD = \(\frac{3}{12}\) = \(\frac{1}{4}\), BD/AD = \(\frac{12}{48}\) = \(\frac{1}{4}\).
BD² = 12² = 144 = 3·48 = BC·AD. Значит BC/BD = BD/AD.
Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).
По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.
Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.
Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.
Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.
Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−18, 0), D = (18, 0) (|AD| = 36).
В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.
Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (36, h). На прямой BE точка E = (0, 36 − h), так как BE = 36.
Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·\(\frac{36}{4}\) = 27.
Шаг 5. AB = √(h² + (18)²) = √(729 + 324) = 9√13;
BC = 2·AB = 18√13; CA = 27√5.
Ответ: 9√13; 18√13; 27√5.
Правильный ответ: 9√13; 18√13; 27√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.