Загрузка заданий...

Вариант 309 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 01.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	яблони	теплица	сарай	жилой дом
Цифры

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 1 →

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.

В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.

Получаем последовательность: 3517.

Ответ: 3517

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 2 →

На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.

В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.

Ответ: 9.

3 Задание 3 1 балл

Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 3 →

Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.

Ответ: 6.

4 Задание 4 1 балл

Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 4 →

Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.

Ответ: 10.

5 Задание 5 1 балл

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	18 000 руб.	13 896 руб.	1,6 куб. м/ч	4,7 руб./куб. м
Электр. отопление	15 000 руб.	9 000 руб.	4,7 кВт	4,4 руб./(кВт·ч)

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 5 →

Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.

Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.

Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.

Ответ: 600.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{9}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{9}{10}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{9}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{9}{10}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{9}{5}) \cdot \frac{3}{4} = \frac{27}{20}$.

Шаг 2: $(\frac{27}{20}) + \frac{9}{10} = \frac{9}{4}$.

Получили дробь $\frac{9}{4}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $2,25$.

Ответ: $2,25$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу $\frac{\sqrt{19}}{2}$. Какая это точка?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\frac{\sqrt{19}}{2}$ по своему значению совпадает с точкой D.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(3\sqrt{6})^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (3√6)².

Используем свойство степени произведения: (3√6)² = 3² · (√6)².

Получаем 9 · 6 = 54.

Ответ: 54.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 18x + 81 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² + 18x + 81 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 18, c = 81.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 18² - 4·1·81 = 0.

Так как D = 0, уравнение имеет один корень.

x = -18 / 2 = -9

Ответ: -9

10 Статистика, вероятности 1 балл

В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 6 чёрных, 7 жёлтых и 27 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 40.

Благоприятных исходов: 7 (жёлтое такси).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{7}{40}$ = 0,175.

Ответ: 0,175.

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a > 0, c > 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 231.

12 Расчёты по формулам 1 балл

В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6500 + 4000n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 11 колец.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим n = 11 в формулу C = 6500 + 4000n.

C = 6500 + 4000·11 = 50500.

Ответ: 50 500.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² - 25 > 0

(-5;5)

(-∞;-5] ∪ [5;+∞)

(-∞;-5) ∪ (5;+∞)

[-5;5]

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Решаем x² - 25 > 0. Нули: x = -5 и x = 5. Верное решение: (-∞;-5) ∪ (5;+∞). Это вариант 3.

Ответ: 3

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 20 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 5,4 м, q = $\frac{1}{2}$.

Пороговая высота равна 20 см = 0,2 м.

После 5-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 6-го прыжка уже меньше.

Ответ: 6.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — площадь →

Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

S = $\frac{1}{2}$ · 12 · 22 = 264/2 = 132.

Ответ: 132.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 71°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Так как AB — диаметр, вписанный угол ANB равен 90°.

В треугольнике ANB угол NAB = 180° - 90° - 71° = 19°.

Углы NAB и NMB опираются на одну и ту же дугу NB, значит они равны.

Следовательно, ∠NMB = 19°.

Ответ: 19.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, AC = 10, BD = 22, AB = 9. Найдите DO.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, DO = BD / 2 = 22 / 2 = 11.

Ответ: 11.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

По клеткам основание равно 5, высота равна 4.

S = 5 · 4 = 20.

Ответ: 20.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

В параллелограмме есть два равных угла.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно: противоположные углы параллелограмма равны.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $45a-21b+62$, если $\dfrac{4a-7b+8}{7a-4b+8}=7$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $45a-21b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $4a-7b+8 = 7(7a-4b+8)$.

Шаг 2. Раскрываем: $4a-7b+8 = 49a-28b+56$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 45a-21b+48$, откуда $45a-21b = -48$.

Шаг 4. Вычисляем: $45a-21b+62 = -48+62 = 14$.

Ответ: 14.

Правильный ответ: 14

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 396 кг свежих фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Свежие фрукты содержат 86% воды, значит сухого вещества 14%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 396 кг свежих фруктов:

396 · 14/100 = 55,44 кг.

Шаг 3. Высушенные фрукты содержат 23% воды, значит сухого вещества 77%.

Шаг 4. Пусть масса сухих фруктов = x кг. Тогда 0,77·x = 55,44.

x = 55,44 / 0,77 = 72 кг.

Ответ: 72.

Правильный ответ: 72

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}-x^2+2x+3,& x\ge -1,\\-x+1,& x<-1.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: [0;2]∪{4}.

Ответ: [0;2]∪{4}.

Правильный ответ: [0;2]∪{4}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 20, BF = 15.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: углы трапеции при боковой стороне — смежные, их биссектрисы перпендикулярны.

Шаг 1. В трапеции AD ∥ BC, значит ∠A + ∠B = 180° (как внутренние односторонние углы).

Шаг 2. Биссектрисы делят углы пополам: ∠FAB + ∠FBA = 90°.

Значит в △AFB угол при F равен 90° — треугольник AFB прямоугольный.

Шаг 3. По теореме Пифагора: AB = √(AF² + BF²) = √(20² + 15²) = √625 = 25.

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.

Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 18, AC = 36, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: BD ⊥ AO; центр O описанной окружности — AO является серединным перпендикуляром к BC.

Шаг 1. O — центр описанной окружности △ABC. AO — это не медиана, а направление из A к O.

Шаг 2. BD ⊥ AO. Рассмотрим проекцию: в треугольнике ABD ∠BDA = 90° (BD ⊥ AO, т.е. BD ⊥ AD?).

Точнее: AO — биссектриса ∠BAC тогда и только тогда, когда AB = AC. Иначе используем другой подход.

Шаг 3. Из подобия △ABD ~ △ACB (доказывается через равенство углов):

AD/AB = AB/AC ⟹ AD = AB²/AC = 18²/36 = 324/36.

Шаг 4. CD = AC − AD = 36 − 324/36 = 27.

Ответ: 27.

Правильный ответ: 27

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.