Загрузка заданий...
Вариант 3109 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 245/45 R18.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 20 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 265.
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 265/50 R17?
Решение
Разбор: Шины →
В маркировке 265/50 R17 ширина шины равна 265 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 265 · 50 / 100 = 132.5 мм. Ответ: 132.5.
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/35 R20?
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и нового колеса 265/35 R20. Ответ: 15.8.
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 245/45 R18 получаем диаметр 677.7 мм. Ответ: 677.7.
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 265/45 R18? Результат округлите до десятых.
Решение
Разбор: Шины →
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 245/45 R18 и колеса 265/45 R18, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.7.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,08 + 40$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,08 + 40\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,08) + 40 = 40,08\).
Ответ: \(40,08\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу \(\frac{-41}{9}\). Какая это точка?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{-41}{9}\) по своему значению совпадает с точкой A.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{6} - 4)(\sqrt{6} + 4)$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√6 - 4)(√6 + 4).
Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².
Тогда (√6)² - 4² = 6 - 16 = -10.
Ответ: -10.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 7x + 13 = 27
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 7x + 13 = 27
Перенесём 13 в правую часть:
7x = 27 - 13
7x = 14
Разделим обе части на 7:
x = 14 / 7
x = 2
Ответ: 2
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.8 и 0.2: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.6, по нижнему 0.65.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.8 · 0.6 = 0.48.
Нижний путь: 0.2 · 0.65 = 0.13.
Складываем: 0.48 + 0.13 = 0.61.
Ответ: 0,61
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a > 0, c > 0
Б) a > 0, c < 0
В) a < 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 132.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2400 кг обладает кинетической энергией 202,8 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 202,8·1000 = 202 800 Дж.
v = √(2·202 800/2400) = 13.
Ответ: 13.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} -1,2 − 3x \leqslant 25,8 \\ 5x − 1,8 \geqslant -48,3 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-9;+∞). Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 360 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 360, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 25 см, а после 4-го уже меньше.
Ответ: 4.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Медиана равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равна a·√3 / 2.
Значит, a·√3 / 2 = 13√3.
Отсюда a / 2 = 13, значит a = 26.
Ответ: 26.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 10√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Для равностороннего треугольника r = a√3 / 6.
Значит, a = 2r√3 = 2 · 10√3 · √3 = 60.
Ответ: 60.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 45° и 40°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Диагональ AC делит угол A на два угла, равные данным значениям.
Следовательно, угол A равен 45° + 40° = 85°.
Больший угол параллелограмма равен 180° - 85° = 95°.
Ответ: 95.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
По клеткам основание равно 6, высота равна 3.
S = 6 · 3 = 18.
Ответ: 18.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \((8-x)(x^2-64)\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: разложить через \((x-8)\).
Шаг 1. \(x^2-64=(x-8)(x+8)\) и \(8-x=-(x-8)\).
Шаг 2. Перемножаем: \((8-x)(x^2-64)=-(x-8)^2(x+8)\).
Шаг 3. Неравенство: \(-(x-8)^2(x+8)\ge0\).
Шаг 4. Делим на \(-1\): \((x-8)^2(x+8)\le0\).
Шаг 5. Произведение \(\le0\) когда \(x+8\le0\Rightarrow x\le-8\), или \(x=8\).
Ответ: \((-\infty;\;-8]\cup\{8\}\).
Правильный ответ: (-∞;-8]∪{8}
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 48 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 168 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: ввести переменную t — время от старта до встречи; первый велосипедист находился в движении меньше.
Шаг 1. Обозначим t (ч) — время от выезда до встречи.
Шаг 2. Первый сделал остановку 48 мин = \(\frac{4}{5}\) ч, поэтому его время движения: t − \(\frac{4}{5}\).
Шаг 3. Суммарный путь равен расстоянию между городами:
15·(t − \(\frac{4}{5}\)) + 30·t = 168.
Шаг 4. Раскрываем: (15 + 30)·t = 168 + 15·\(\frac{4}{5}\) = 180.
t = 180 / 45 = 4 ч.
Шаг 5. Расстояние от города второго велосипедиста до места встречи:
30 · 4 = 120 км.
Ответ: 120.
Правильный ответ: 120
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2+2x+1,& x\ge -2,\\-\dfrac{2}{x},& x<-2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком одну или две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {0}∪[1;+∞).
Ответ: {0}∪[1;+∞).
Правильный ответ: {0}∪[1;+∞)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42, BC = 27, CF : DF = 2 : 1.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: EF параллельна основаниям — применяем свойство линейного изменения при параллельном сечении.
Шаг 1. Точка F делит боковую сторону CD в отношении CF:DF = 2:1 (от C).
Точка E делит AB в том же отношении AE:EB = 2:1 (из подобия трапеций).
Шаг 2. Длина EF определяется взвешенным средним оснований:
EF = (DF·BC + CF·AD) / (CF + DF) = (1·27 + 2·42) / (2+1).
Шаг 3. EF = (27 + 84) / 3 = 111 / 3 = 37.
Ответ: 37.
Правильный ответ: 37
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом A проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что треугольники AB₁C₁ и ABC подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠AB₁B = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠AC₁C = 90°.
Шаг 2. Угол A тупой, поэтому основания B₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон AC и AB за вершину A. Значит ∠B₁AC₁ = ∠BAC как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △ABB₁ и △ACC₁ имеют равные острые углы при A, поэтому подобны. Отсюда AB₁ : AB = AC₁ : AC.
Шаг 4. У △AB₁C₁ и △ABC угол при A равен (∠B₁AC₁ = ∠BAC), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △AB₁C₁ ∼ △ABC. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 12, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.
Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.
Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.
В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.
Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:
dist(K, AB) = dist(K, AD) = 4.
Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:
dist(K, AB) = dist(K, BC) = 4.
Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:
dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 4 + 4 = 8.
Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 12 · 8 = 96.
Ответ: 96.
Правильный ответ: 96
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.