Загрузка заданий...
Вариант 3135 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
| Объекты | жилой дом | яблони | теплица | гараж |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 1 →
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.
Получаем последовательность: 7352.
Ответ: 7352
2
Задание 2
1 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 2 →
На все дорожки нужно 25 плиток.
В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 6⌉ = 5 упаковок.
Ответ: 5.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 3 →
Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.
Ответ: 36.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 4 →
Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.
Ответ: 75.
5
Задание 5
1 балл
| Нагреватель (котёл) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа / средн. мощность | Стоимость газа / электроэнергии | |
|---|---|---|---|---|
| Газовое отопление | 25 000 руб. | 17 552 руб. | 1,3 куб. м/ч | 5,2 руб./куб. м |
| Электр. отопление | 21 000 руб. | 15 000 руб. | 5,2 кВт | 4,1 руб./(кВт·ч) |
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 5 →
Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.
Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.
Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.
Ответ: 450.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 2,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{5} - \frac{2}{5} + 2,5\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{5}) - \frac{2}{5} = -0,2\).
Шаг 2: \((-0,2) + 2,5 = 2,3\).
Получили результат \(2,3\).
Ответ: \(2,3\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел расположено между числами 1 и 1,75?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа 1 и 1,75. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (\(\frac{3}{2}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{99} + \sqrt{176})\sqrt{11}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√99 + √176)·√11.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √99 = 3√11, √176 = 4√11.
Тогда получаем (3√11 + 4√11)·√11 = 7√11·√11.
Так как √11·√11 = 11, имеем 7·11 = 77.
Ответ: 77.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 6x + 4 = 40
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 6x + 4 = 40
Перенесём 4 в правую часть:
6x = 40 - 4
6x = 36
Разделим обе части на 6:
x = 36 / 6
x = 6
Ответ: 6
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 50 чашек: 37 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 13 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{13}{50}\) = 0,26.
Ответ: 0,26.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 4\)
2) \(y = -x + 3\)
3) \(y = -3x + 2\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 312.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 40 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 4 312 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 4 312/(9,8·40) = 11.
Ответ: 11.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
5x + 12 > 7x - 2
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: 5x + 12 > 7x - 2.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -2x < -14.
Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.
Делим обе части на -2: x < 7.
Значит, x меньше 7.
Этому соответствует промежуток (-∞;7).
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в десятом ряду амфитеатра?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 20, d = 3.
Найдём 10-й член: a10 = a₁ + (10 - 1)·d = 20 + 9·3 = 47.
Ответ: 47.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 14 и 5. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = \(\frac{1}{2}\) · 14 · 5 = \(\frac{70}{2}\) = 35.
Ответ: 35.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
В окружность с центром в точке O вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки O до сторон треугольника равно 4√3/3. Найдите сторону треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Расстояние от центра описанной окружности равностороннего треугольника до стороны равно радиусу вписанной окружности r.
Для равностороннего треугольника a = 2r√3.
Подставляя r = 4√\(\frac{3}{3}\), получаем a = 8.
Ответ: 8.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 15 и 16. Найдите длину основания BC.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
В равнобедренной трапеции при опускании высоты на большее основание оно делится на отрезки x и x+BC.
Следовательно, BC = 16 - 15 = 1.
Ответ: 1.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.
Катеты равны 5 и 8.
Больший катет равен 8.
Ответ: 8.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5x^2-11x=y,\\5x-11=y.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: приравниваем правые части.
Шаг 1. \(5x^2-11x=5x-11\).
Шаг 2. Переносим влево: \(5x^2-16x+11=0\).
Шаг 3. Разложим: \((5x-11)(x-1)=0\).
Корни: \(x=\dfrac{11}{5}\) или \(x=1\).
Шаг 4. Находим \(y\):
При \(x=\dfrac{11}{5}\): \(y=5\cdot\dfrac{11}{5}-11=0\).
При \(x=1\): \(y=5-11=-6\).
Ответ: \(\left(\dfrac{11}{5};\,0\right);\ (1;\,-6)\).
Правильный ответ: (11/5;0);(1;-6)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут дольше, чем вторая труба?
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.
Шаг 1. Пусть первая труба пропускает x л/мин, тогда вторая — (x + 16) л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/x мин, второй — 105/(x+16) мин.
Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:
105/x − 105/(x+16) = 4.
Шаг 4. Умножаем на x(x+16):
105·(x+16) − 105·x = 4·x·(x+16).
1680 = 4·x² + 64·x.
4x² + 64x − 1680 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.
x = (−64 + 176) / (2·4) = 14 (отрицательный корень не подходит по смыслу).
Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = \(\frac{15}{2}\) мин, вторая — 105/30 = \(\frac{7}{2}\) мин.
\(\frac{15}{2}\) − \(\frac{7}{2}\) = 4 = 4. ✓
Ответ: 14.
Правильный ответ: 14
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 6|x| + 8\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 6x + 8.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 6x + 8.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 8. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 8.
Проверка: при m = 8 уравнение имеет корни x = −6, x = 0, x = 6 — ровно три точки.
Ответ: 8.
Правильный ответ: 8
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 30, а сторона AC в 1,5 раза больше стороны BC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: четыре точки K, P, B, C лежат на окружности — треугольники AKP и ABC подобны.
Шаг 1. Угол A общий для △AKP и △ABC.
∠AKP = ∠ABC (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу KPBC).
По двум углам: △AKP ∼ △ABC.
Шаг 2. Коэффициент подобия = AK/AB = KP/BC.
По условию AC = 1,5·BC, поэтому AK/AC = KP/BC.
KP = AK · BC/AC = AK / 1,5 = 30 / 1,5 = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 81, BD = 27. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти два равных угла у треугольников CBD и BDA.
Шаг 1. BC ∥ AD ⟹ ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие при секущей BD).
Шаг 2. Проверим соотношение сторон: BC/BD = \(\frac{9}{27}\) = \(\frac{1}{3}\), BD/AD = \(\frac{27}{81}\) = \(\frac{1}{3}\).
BD² = 27² = 729 = 9·81 = BC·AD. Значит BC/BD = BD/AD.
Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).
По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 40 и 41, а основание BC равно 16. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 40 + 16... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 9, AB = 40, CD = 41, BC = 16.
Шаг 3. AD = BC + AB = 16 + 40 = 56.
S = (BC + AD)/2 · h = (16 + 56)/2 · 9 = 820.
Ответ: 820.
Правильный ответ: 820
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.