Загрузка заданий...
Вариант 3166 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
| Объекты | жилой дом | яблони | теплица | гараж |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 1 →
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.
Получаем последовательность: 7352.
Ответ: 7352
2
Задание 2
1 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 2 →
На все дорожки нужно 25 плиток.
В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 6⌉ = 5 упаковок.
Ответ: 5.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 3 →
Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.
Ответ: 36.
4
Задание 4
1 балл
На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 4 →
Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.
Ответ: 75.
5
Задание 5
1 балл
| Нагреватель (котёл) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа / средн. мощность | Стоимость газа / электроэнергии | |
|---|---|---|---|---|
| Газовое отопление | 25 000 руб. | 17 552 руб. | 1,3 куб. м/ч | 5,2 руб./куб. м |
| Электр. отопление | 21 000 руб. | 15 000 руб. | 5,2 кВт | 4,1 руб./(кВт·ч) |
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 5 →
Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.
Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.
Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.
Ответ: 450.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} + \frac{1}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} + \frac{1}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{1} = \frac{2}{1}\).
Шаг 2: \((\frac{2}{1}) + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\).
Получили дробь \(\frac{5}{2}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2,5\).
Ответ: \(2,5\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число \(\frac{\sqrt{12}}{2}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число \(\frac{\sqrt{12}}{2}\) по своему значению совпадает с точкой D.
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$2^{2} \cdot (2^2)^3$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 2^(2) · (2^2)^3.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^2)^3 = 2^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 2^2 · 2^6 = 2^8.
Получаем 2^8 = 256.
Ответ: 256.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -3x - 7y = 40 \\ -x - 4y = 20 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-3x - 7y = 40
-x - 4y = 20
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на -1, а второе — на -3.
Получим:
\((-3x - 7y = 40) \cdot -1\): 3x + 7y = -40
\((-x - 4y = 20) \cdot -3\): 3x + 12y = -60
Вычтем второе уравнение из первого:
-5y = 20
y = 20 / -5 = -4
Подставим y = -4 в первое уравнение:
-3x - 7y = 40
Получаем x = -4.
Ответ: (-4;-4)
10
Статистика, вероятности
1 балл
В фирме такси в данный момент свободно 40 машин: 16 чёрных, 5 жёлтых и 19 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 40.
Благоприятных исходов: 5 (жёлтое такси).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{5}{40}\) = 0,125.
Ответ: 0,125.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a > 0, c < 0
3) a < 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 321.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 27 Вт, а сила тока равна 1,5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 27/(1,5²) = 12.
Ответ: 12.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 ≤ 16
1
2
3
4
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Из неравенства x² <= 16 получаем границы x = ±4. Верное решение: [-4;4]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 360 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 5 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 360, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 5 см, а после 5-го уже меньше.
Ответ: 5.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Два катета прямоугольного треугольника равны 11 и 6. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
S = \(\frac{1}{2}\) · 11 · 6 = \(\frac{66}{2}\) = 33.
Ответ: 33.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Диагональ AC ромба ABCD равна 30, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.
Поэтому в прямоугольном треугольнике с катетами AC/2 и BD/2:
tg ∠BCA = BD / AC, значит BD = AC · tg ∠BCA = 30 · 0,75 = 22,5.
Площадь ромба S = AC · BD / 2 = 30 · 22,5 / 2 = 337,5.
Сторона ромба a = √((\(\frac{30}{2}\))² + (22,\(\frac{5}{2}\))²) = 18,75.
Для ромба с вписанной окружностью S = r·p, где p — полупериметр, равный 2a.
r = S / (2a) = 337,5 / (2·18,75) = 9.
Ответ: 9.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Периметр ромба равен 36, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Сторона ромба равна 36 / 4 = 9.
Площадь ромба равна a²·sin α.
S = 9² · sin 30° = 9² · \(\frac{1}{2}\) = 40,5.
Ответ: 40,5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →
Диагонали ромба на рисунке идут по горизонтали и вертикали.
По клеткам их длины равны 12 и 4.
Большая диагональ равна 12.
Ответ: 12.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.
2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.
3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.
Ответ: 3.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}5x^2+y^2=36,\\10x^2+2y^2=36x.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: умножим первое уравнение на 2 — левые части станут одинаковыми.
Шаг 1. Умножаем первое на 2: \(10x^2+2y^2=72\).
Шаг 2. По второму уравнению: \(10x^2+2y^2=36x\).
Шаг 3. Левые части равны — приравниваем правые:
\(72=36x\Rightarrow x=2\).
Шаг 4. Подставляем \(x=2\) в первое уравнение:
\(5\cdot4+y^2=36\Rightarrow y^2=16\Rightarrow y=\pm4\).
Ответ: \((2;\,-4);\ (2;\,4)\).
Правильный ответ: (2;-4);(2;4)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Первые 330 км автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, следующие 105 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 150 км — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: средняя скорость = весь путь / всё время.
Шаг 1. Считаем время на каждом участке (t = S/v):
t₁ = 330/110 = 3 ч,
t₂ = 105/35 = 3 ч,
t₃ = 150/50 = 3 ч.
Шаг 2. Общее расстояние: 330 + 105 + 150 = 585 км.
Шаг 3. Общее время: 3 + 3 + 3 = 9 ч.
Шаг 4. Средняя скорость: 585 / 9 = 65 км/ч.
Ответ: 65.
Правильный ответ: 65
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = x^2 - 8|x| - 3\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 8x - 3.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 8x - 3.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -3. В этой точке у графика локальный максимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = -3.
Проверка: при m = -3 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.
Ответ: -3.
Правильный ответ: -3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 40, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 21 и 20.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра делит хорду пополам — дважды применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. По хорде AB: R² = 21² + (AB/2)² = 21² + 20² = 841. R = 29.
Шаг 2. Для хорды CD при расстоянии 20 от центра:
(CD/2)² = R² − 20² = 841 − 400 = 441.
CD/2 = 21.
Шаг 3. CD = 2 · 21 = 42.
Ответ: 42.
Правильный ответ: 42
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. BB₁ — высота, поэтому ∠BB₁C = 90°. Значит из точки B₁ отрезок BC виден под прямым углом, и B₁ лежит на окружности с диаметром BC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠BC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром BC.
Шаг 3. Итак, точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠BB₁C₁ и ∠BCC₁ опираются на одну и ту же дугу BC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=25 и R=100.
O₁O₂ = r + R = 125 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(100·25) = 2√2500 = 100.
Ответ: 100.
Правильный ответ: 100
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.