Загрузка заданий...

Вариант 3175 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 235/65 R17.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 19 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 245.

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 220/60 R16?

Решение

Разбор: Шины →

В маркировке 220/60 R16 ширина шины равна 220 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 220 · 60 / 100 = 132 мм. Ответ: 132.

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 255/50 R19?

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 235/65 R17 и нового колеса 255/50 R19. Ответ: 0.3.

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 235/65 R17 получаем диаметр 737.3 мм. Ответ: 737.3.

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 245/65 R17? Результат округлите до десятых.

Решение

Разбор: Шины →

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 235/65 R17 и колеса 245/65 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.8.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$2,5 - \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $2,5 - \frac{1}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(2,5) - \frac{1}{1} = 1,5$.

Получили результат $1,5$.

Ответ: $1,5$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из следующих чисел заключено между числами -4,6 и -0,2?
В ответе укажите номер правильного варианта.

-4

$\frac{31}{10}$

0,55

$\frac{219}{50}$

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа -4,6 и -0,2. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (-4) лежит между этими числами.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{40} + \sqrt{40})\sqrt{10}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√40 + √40)·√10.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √40 = 2√10, √40 = 2√10.

Тогда получаем (2√10 + 2√10)·√10 = 4√10·√10.

Так как √10·√10 = 10, имеем 4·10 = 40.

Ответ: 40.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 5 + 2(-4x + 9) = -3x + 38

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: 5 + 2(-4x + 9) = -3x + 38

Раскроем скобки:

5 + 2(-4x + 9) = -3x + 38

5 - 8x + 18 = -3x + 38

Приведём подобные слагаемые в левой части:

-8x + 23 = -3x + 38

Перенесём слагаемые с x в левую часть, числа — в правую:

-5x = 15

Разделим обе части на -5:

x = 15 / -5

x = -3

Ответ: -3

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 25 билетов, Яша не выучил 16 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 25.

Благоприятных исходов: 9 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{9}{25}$ = 0,36.

Ответ: 0,36.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Формулы

1) $y = x + 3$

2) $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$

3) $y = 2x + 2$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 231.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 31,5 Вт, а сила тока равна 1,5 А. Ответ дайте в омах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².

R = 31,5/(1,5²) = 14.

Ответ: 14.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение системы неравенств:

$$\begin{cases} 4x + 0,6 \geqslant -2,6 \\ 2x − 0,3 > -1,3 \end{cases}$$

(-∞;-0,5) ∪ (1,5;+∞)

(-0,5;1,5)

[1,5;+∞)

(-0,5;+∞)

Решение

Разбор: Системы неравенств — выбор решения →

Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: (-0,5;+∞). Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 560 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 5 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 560, q = $\frac{1}{2}$.

Проверяем последовательно: после 7-го отскока высота ещё не меньше 5 см, а после 8-го уже меньше.

Ответ: 8.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 7/20, AB = 40. Найдите AC.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике sin B = AC / AB.

Значит, AC = AB · sin B = 40 · $\frac{7}{20}$ = 14.

Ответ: 14.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 67°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный, равен половине центрального угла.

Поэтому ∠ACB = ∠AOB / 2 = 67° / 2 = 33,5°.

Ответ: 33,5.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Основание равно 12 + 3 = 15.

S = 15 · 5 = 75.

Ответ: 75.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

По клеткам диагонали равны 4 и 6.

S = 4 · 6 / 2 = 12.

Ответ: 12.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

В параллелограмме есть два равных угла.

В тупоугольном треугольнике все углы тупые.

Площадь прямоугольника равна произведению длин всех его сторон.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно: противоположные углы параллелограмма равны.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-6)^2<\sqrt{10}(x-6)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести $(x-6)$.

Шаг 1. Переносим: $(x-6)^2-\sqrt{10}(x-6)<0$.

Шаг 2. Выносим: $(x-6)\bigl[(x-6)-\sqrt{10}\bigr]<0$.

Шаг 3. Нули: $x=6$ и $x=6+\sqrt{10}$.

Шаг 4. Произведение отрицательно между корнями.

Ответ: $(6;\; 6+\sqrt{10})$.

Правильный ответ: (6;6+√10)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.

Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 8) км/ч.

Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 1 км.

Длина круга = x + 1 км.

Шаг 3. Второй пробежал круг 20 мин назад, то есть за (1 − $\frac{20}{60}$) = 0,6666666667 ч.

Длина круга = (x + 8) · 0,6666666667 км.

Шаг 4. Приравниваем: x + 1 = (x + 8) · 0,6666666667.

Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 13 км/ч.

Ответ: 13.

Правильный ответ: 13

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}-x^2-2x+3,& x\ge -2,\\-x-1,& x<-2.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (1;3)∪{4}.

Ответ: (1;3)∪{4}.

Правильный ответ: (1;3)∪{4}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 60 и 68. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.

Шаг 1. Второй катет: √(68² − 60²) = √1024 = 32.

Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 60·$\frac{32}{2}$ = 960.

Шаг 3. Площадь через гипотенузу 68 и высоту h к ней: S = 68·h/2.

Шаг 4. Из равенства площадей: h = 60·$\frac{32}{68}$ = 480/17.

Ответ: 480/17.

Правильный ответ: 480/17

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы DAC и DBC равны. Докажите, что углы CDB и CAB также равны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из равенства вписанных углов вывести цикличность четырёхугольника.

Шаг 1. Углы DAC и DBC опираются на хорду DC и равны по условию.

По обратной теореме точки A, B, C, D лежат на одной окружности.

Шаг 2. Углы CDB и CAB опираются на хорду CB.

Как вписанные углы на одну дугу, они равны. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 5, а основание BC равно 1. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.

Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.

По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.

Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:

AD = AB + BC = 4 + 1... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).

Через пифагорово тройки: высота h = 3, AB = 4, CD = 5, BC = 1.

Шаг 3. AD = BC + AB = 1 + 4 = 5.

S = (BC + AD)/2 · h = (1 + 5)/2 · 3 = 10.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.