Загрузка заданий...

Вариант 3211 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 225/55 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 235.

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 225/60 R17?

Решение

Разбор: Шины →

В маркировке 225/60 R17 ширина шины равна 225 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 225 · 60 / 100 = 135 мм. Ответ: 135.

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/45 R18?

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/55 R16 и нового колеса 235/45 R18. Ответ: 14.8.

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 225/55 R16 получаем диаметр 653.9 мм. Ответ: 653.9.

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/55 R16? Результат округлите до десятых.

Решение

Разбор: Шины →

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/55 R16 и колеса 235/55 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{9}{8} + \frac{1}{5} : \frac{1}{1}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{9}{8} + \frac{1}{5} : \frac{1}{1}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{5}) : \frac{1}{1} = \frac{1}{5}$.

Шаг 2: $(\frac{9}{8}) + \frac{1}{5} = \frac{53}{40}$.

Получили дробь $\frac{53}{40}$.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $1,325$.

Ответ: $1,325$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какой точке на координатной прямой соответствует число $\sqrt{3}$?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение

Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →

Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.

Число $\sqrt{3}$ по своему значению совпадает с точкой D.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(2\sqrt{10})^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (2√10)².

Используем свойство степени произведения: (2√10)² = 2² · (√10)².

Получаем 4 · 10 = 40.

Ответ: 40.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: 6x + 19 = 43

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: 6x + 19 = 43

Перенесём 19 в правую часть:

6x = 43 - 19

6x = 24

Разделим обе части на 6:

x = 24 / 6

x = 4

Ответ: 4

10 Статистика, вероятности 1 балл

На экзамене 20 билетов, Серёжа не выучил 6 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 20.

Благоприятных исходов: 14 (выученный билет).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{14}{20}$ = 0,7.

Ответ: 0,7.

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

ГРАФИКИ

ФОРМУЛЫ

А) $y = -2x^2 - 10x - 13$

Б) $y = -\dfrac{9}{x}$

В) $y = \dfrac{1}{3}x + 1$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Графики разных функций →

Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.

Ответ: 123

12 Расчёты по формулам 1 балл

Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv²/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 2500 кг обладает кинетической энергией 361,25 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).

E = 361,25·1000 = 361 250 Дж.

v = √(2·361 250/2500) = 17.

Ответ: 17.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

(x + 1)(x - 2) ≤ 0

(-∞;-1) ∪ (2;+∞)

(2;+∞)

(-1;2)

[-1;2]

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -1 и x = 2. На числовой прямой отмечаем точки -1 и 2 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 1)(x - 2) <= 0 получаем решение [-1;2]. Это вариант 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 25 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду амфитеатра?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 25, d = 3.

Найдём 8-й член: a8 = a₁ + (8 - 1)·d = 25 + 7·3 = 46.

Ответ: 46.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 7/9, AB = 54. Найдите BC.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.

Значит, BC = AB · cos B = 54 · $\frac{7}{9}$ = 42.

Ответ: 42.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Сторона равностороннего треугольника равна 6√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение

Разбор: Окружность — вписанные окружности →

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника равен a√3 / 6.

r = (6√3 · √3) / 6 = $\frac{18}{6}$ = 3.

Ответ: 3.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Сторона квадрата равна 8√2. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Диагональ квадрата равна a√2.

d = 8√2 · √2 = 16.

Ответ: 16.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →

A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.

На уровне y=5: t=(5−1)/(7−1)=$\frac{2}{3}$. x_A=1+$\frac{2}{3}$·3=3... нет, считаем по клеткам: A=(2,5), B=(6,5). AB=4.

Ответ: 4.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Диагонали параллелограмма равны.

Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно.

2) Верно.

3) Неверно: не указано, что угол заключён между сторонами.

Ответ: 2.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите неравенство: $(x-7)^2<\sqrt{11}(x-7)$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: перенести правую часть влево и вынести общий множитель $(x-7)$.

Шаг 1. Перенесём $\sqrt{11}(x-7)$ влево:

$(x-7)^2-\sqrt{11}(x-7)<0$.

Шаг 2. Выносим $(x-7)$ за скобку:

$(x-7)\bigl[(x-7)-\sqrt{11}\bigr]<0$.

Шаг 3. Находим нули: первый множитель обращается в 0 при $x=7$, второй — при $x=7+\sqrt{11}$.

Шаг 4. Произведение двух линейных множителей отрицательно строго между их корнями.

Ответ: $(7;\; 7+\sqrt{11})$.

Правильный ответ: (7;7+√11)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первая труба пропускает на 16 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 105 литров она заполняет на 4 минут быстрее, чем первая труба?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: составить уравнение на время заполнения резервуара, используя формулу t = V/q.

Шаг 1. Пусть вторая труба пропускает x л/мин, тогда первая — (x − 16) л/мин.

Шаг 2. Время заполнения: первой — 105/(x−16) мин, второй — 105/x мин.

Шаг 3. Первая заполняет на 4 мин дольше:

105/(x−16) − 105/x = 4.

Шаг 4. Умножаем на x(x−16):

105·x − 105·(x−16) = 4·x·(x−16).

1680 = 4·x² − 64·x.

4x² − 64x − 1680 = 0.

Шаг 5. Дискриминант: D = 64² + 4·4·1680 = 4096 + 26880 = 30976, √D = 176.

x = (64 + 176) / (2·4) = 30 (отрицательный корень не подходит по смыслу).

Шаг 6. Проверка: первая труба — 105/14 = $\frac{15}{2}$ мин, вторая — 105/30 = $\frac{7}{2}$ мин.

$\frac{15}{2}$ − $\frac{7}{2}$ = 4 = 4. ✓

Ответ: 30.

Правильный ответ: 30

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+6,25)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+6,25,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-5; 5; 7,25 $.

Ответ: $ -5; 5; 7,25 $.

Правильный ответ: -5; 5; 7,25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 120°, а CD = 48.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: высота трапеции, опущенная из одного основания, одинакова при выражении через любую боковую сторону.

Шаг 1. Опускаем высоту h из вершины A на прямую CD.

h = AB · sin(∠ABC) = AB · sin45°.

Шаг 2. Та же высота выражается через сторону CD:

h = CD · sin(∠BCD) = 48 · sin120°.

Шаг 3. Из равенства: AB · sin45° = 48 · sin120°.

AB = 48 · sin120°/sin45° (здесь sin120°/sin45° = √$\frac{6}{2}$).

AB = 24√6.

Ответ: 24√6.

Правильный ответ: 24√6

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 96, BD = 24. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: найти два равных угла у треугольников CBD и BDA.

Шаг 1. BC ∥ AD ⟹ ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие при секущей BD).

Шаг 2. Проверим соотношение сторон: BC/BD = $\frac{6}{24}$ = $\frac{1}{4}$, BD/AD = $\frac{24}{96}$ = $\frac{1}{4}$.

BD² = 24² = 576 = 6·96 = BC·AD. Значит BC/BD = BD/AD.

Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).

По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5 : 4, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 6.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса угла A делит высоту BH в отношении p:q → находим sin A → по теореме синусов R.

Шаг 1. Пусть BH — высота из B, биссектриса из A пересекает BH в точке F.

BF : FH = 5 : 4 (дано).

Шаг 2. Обозначим ∠ABH = α, ∠BAH = 90° − α.

Биссектриса делит ∠A пополам: ∠BAF = ∠A/2.

В прямоугольном △ABH: tg(∠BAH) = BH/AH.

Шаг 3. Из отношения BF:FH = 5:4:

tg(∠BAF) = BF/AF, tg(∠FAH) = FH/AF.

BF/FH = $\frac{5}{4}$ ⟹ tg(∠BAF)/tg(∠FAH) = $\frac{5}{4}$.

Так как ∠BAF = ∠FAH (биссектриса), получаем противоречие — значит используем формулу:

sin A = 2·4/(5+4) · ... = BC/(2R).

Шаг 4. BC = 2R·sin A ⟹ R = BC/(2·sin A) = 6/(2·sin A) = 5.

Ответ: 5.

Правильный ответ: 5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.