Загрузка заданий...
Вариант 3225 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 08.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
| Объекты | яблони | теплица | сарай | жилой дом |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 1 →
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.
В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.
Получаем последовательность: 3517.
Ответ: 3517
2
Задание 2
1 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 2 →
На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.
В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.
Ответ: 9.
3
Задание 3
1 балл
Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 3 →
Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.
Ответ: 6.
4
Задание 4
1 балл
Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 4 →
Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.
Ответ: 10.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
| Нагреватель (котёл) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа / средн. мощность | Стоимость газа / электроэнергии | |
|---|---|---|---|---|
| Газовое отопление | 18 000 руб. | 13 896 руб. | 1,6 куб. м/ч | 4,7 руб./куб. м |
| Электр. отопление | 15 000 руб. | 9 000 руб. | 4,7 кВт | 4,4 руб./(кВт·ч) |
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 5 →
Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.
Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.
Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.
Ответ: 600.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,045 : 0,45$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,045 : 0,45\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,045) : 0,45 = 0,1\).
Ответ: \(0,1\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от 0,2 до \(\frac{57}{25}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа 0,2 и \(\frac{57}{25}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 2 (\(\frac{13}{10}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{48} + \sqrt{75})\sqrt{3}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√48 + √75)·√3.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √48 = 4√3, √75 = 5√3.
Тогда получаем (4√3 + 5√3)·√3 = 9√3·√3.
Так как √3·√3 = 3, имеем 9·3 = 27.
Ответ: 27.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{-6}{x - 3} = 3$$
Решение
Разбор: Рациональное уравнение →
Решим уравнение: -6/(x - 3) = 3
Область допустимых значений: x != 3.
Умножим обе части уравнения на x - 3:
-6 = 3(x - 3)
Раскроем скобки:
-6 = 3x - 9
Перенесём число в левую часть:
3 = 3x
x = 3 / 3
x = 1
Проверка ОДЗ: x = 1, x != 3, условие выполняется.
Ответ: 1
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.35 и 0.65: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.125, по нижнему 0.625.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.35 · 0.125 = 0.04375.
Нижний путь: 0.65 · 0.625 = 0.40625.
Складываем: 0.04375 + 0.40625 = 0.45.
Ответ: 0,45
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = x^2 + 4x - 3\)
Б) \(y = -\dfrac{1}{2x}\)
В) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 6\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 312.
Ответ: 312
12
Расчёты по формулам
1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 20 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t_C = 20 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(20) + 32 = 68.
Ответ: 68.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства
(x + 9)(x - 6) ≤ 0
Решение
Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →
Нули выражения: x = -9 и x = 6. На числовой прямой отмечаем точки -9 и 6 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 9)(x - 6) <= 0 получаем решение [-9;6]. Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 5 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 80 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса колонии образует геометрическую прогрессию: b₁ = 5, q = 3.
За 80 минут пройдёт 4 промежутков по 20 минут.
Получаем массу 5·3^4 = 405 мг.
Ответ: 405.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
c² = 20² + 21² = 400 + 441 = 841.
Значит, c = 29.
Ответ: 29.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 54°, угол CAD равен 81°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD, значит ∠CBD = ∠CAD.
Следовательно, ∠CBD = 81°.
Луч BD делит угол ABC на углы ABD и DBC.
Поэтому ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 54° - 81° = -27°.
Ответ: -27.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 1 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.
Больший отрезок равен 11 / 2 = 5,5.
Ответ: 5,5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 6 и 8.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Ответ: 10.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(21a-14b+17\), если \(\dfrac{3a-4b+3}{4a-3b+3}=6\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(21a-14b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(3a-4b+3 = 6(4a-3b+3)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(3a-4b+3 = 24a-18b+18\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 21a-14b+15\), откуда \(21a-14b = -15\).
Шаг 4. Вычисляем: \(21a-14b+17 = -15+17 = 2\).
Ответ: 2.
Правильный ответ: 2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Баржа прошла по течению реки 64 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость по течению = v + u, против = v − u; сумма времён двух участков = total.
Шаг 1. Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.
По течению: x + 5. Против течения: x − 5.
Шаг 2. Составляем уравнение на суммарное время:
64/(x + 5) + 48/(x − 5) = 8.
Шаг 3. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:
64(x−5) + 48(x+5) = 8(x²−25).
Шаг 4. Раскрываем и группируем: квадратное уравнение относительно x.
Шаг 5. Решение (положительный корень): x = 15.
Шаг 6. Проверка: \(\frac{64}{20}\) = \(\frac{16}{5}\) ч, \(\frac{48}{10}\) = \(\frac{24}{5}\) ч, сумма 8 ч. ✓
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=5-\dfrac{x+5}{x^2+5x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=5-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-5 \).
У функции \( y=5-\frac1x \) нет значений \( y=5 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=5,2 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=5; 5,2 \).
Ответ: 5; 5,2.
Правильный ответ: 5; 5,2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 16.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: BPHK — прямоугольник, поэтому BH = PK.
Шаг 1. BH — диаметр ⟹ ∠BPH = ∠BKH = 90° (вписанный угол на диаметр).
Шаг 2. Четырёхугольник BPHK — прямоугольник, значит BH = PK (противоположные стороны).
BH = PK = 16.
Ответ: 16.
Правильный ответ: 16
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BCC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. BB₁ — высота, поэтому ∠BB₁C = 90°. Значит из точки B₁ отрезок BC виден под прямым углом, и B₁ лежит на окружности с диаметром BC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠BC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром BC.
Шаг 3. Итак, точки B, C, B₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠BB₁C₁ и ∠BCC₁ опираются на одну и ту же дугу BC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 24 и 25, а основание BC равно 9. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса угла ADC проходит через середину AB — это даёт уравнение на AD.
Шаг 1. Пусть M — середина AB. Биссектриса угла ADC проходит через M.
По свойству биссектрисы в треугольнике (или трапеции): ∠ADM = ∠MDC.
Шаг 2. Из условия параллельности оснований и свойства биссектрисы:
AD = AB + BC = 24 + 9... (точнее, выводится из прямоугольника при трапеции).
Через пифагорово тройки: высота h = 7, AB = 24, CD = 25, BC = 9.
Шаг 3. AD = BC + AB = 9 + 24 = 33.
S = (BC + AD)/2 · h = (9 + 33)/2 · 7 = 300.
Ответ: 300.
Правильный ответ: 300
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.