Загрузка заданий...
Вариант 3284 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 265/70 R17.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 20 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 275.
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 195/60 R16?
Решение
Разбор: Шины →
В маркировке 195/60 R16 ширина шины равна 195 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 195 · 60 / 100 = 117 мм. Ответ: 117.
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/55 R20?
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/70 R17 и нового колеса 275/55 R20. Ответ: 7.7.
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 265/70 R17 получаем диаметр 802.8 мм. Ответ: 802.8.
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 275/70 R17? Результат округлите до десятых.
Решение
Разбор: Шины →
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 265/70 R17 и колеса 275/70 R17, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{2}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{2}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}\).
Шаг 2: \((\frac{3}{10}) \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{20}\).
Получили дробь \(\frac{9}{20}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(0,45\).
Ответ: \(0,45\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из данных чисел принадлежит промежутку от -2,51 до \(\frac{99}{25}\)?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →
Сравним числа -2,51 и \(\frac{99}{25}\). Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.
Проверяем варианты и получаем, что только вариант 1 (\(\frac{9}{50}\)) лежит между этими числами.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(7\sqrt{2})^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (7√2)².
Используем свойство степени произведения: (7√2)² = 7² · (√2)².
Получаем 49 · 2 = 98.
Ответ: 98.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 3x + 11 = 38
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 3x + 11 = 38
Перенесём 11 в правую часть:
3x = 38 - 11
3x = 27
Разделим обе части на 3:
x = 27 / 3
x = 9
Ответ: 9
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события этого опыта. Найдите вероятность события \(A \cup \overline{B}\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Всего элементарных исходов: 8. Благоприятных для события \(A \cup \overline{B}\): 5.
\(P=5/8=0,625\).
Ответ: 0,625
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c > 0
2) a > 0, c < 0
3) a < 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 231.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Кинетическая энергия тела массой m кг, двигающегося со скоростью v м/с, вычисляется по формуле E = mv2/2 и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1000 кг обладает кинетической энергией 84,5 тысяч джоулей. Найдите скорость этого автомобиля в метрах в секунду.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы E = mv²/2 выразим скорость: v = √(2E/m).
E = 84,5·1000 = 84 500 Дж.
v = √(2·84 500/1000) = 13.
Ответ: 13.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Смотрим на отмеченные корни и закрашенные промежутки. Этому соответствует вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В амфитеатре 19 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В четвёртом ряду 26 мест, а в шестом ряду 32 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Ряды образуют арифметическую прогрессию.
Разность прогрессии: d = (32 - 26) / (6 - 4) = 3.
Тогда первый ряд: a₁ = a4 - (4 - 1)·d = 26 - 3·3 = 17.
Последний ряд: a19 = a₁ + (19 - 1)·d = 17 + 18·3 = 71.
Ответ: 71.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — элементы →
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса совпадают.
Высота равностороннего треугольника равна a·√3 / 2.
Получаем: 16√3 · √3 / 2 = 16·3 / 2 = 24.
Ответ: 24.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Периметр треугольника равен 110, одна из сторон равна 38, а радиус вписанной в него окружности равен 10. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.
p = 110 / 2 = 55.
S = p·r = 55 · 10 = 550.
Ответ: 550.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В ромбе ABCD угол ABC равен 146°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
В ромбе противоположные углы равны, а соседние дополняют друг друга до 180°.
Следовательно, угол C равен 180° - 146° = 34°.
Диагональ AC биссектрисой угла C.
Поэтому ∠ACD = 34° / 2 = 17°.
Ответ: 17.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка MC?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.
M лежит на AC. По клеткам: AM=6, MC=3. AM=2·MC.
Ответ: 2.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x+4)^4+6(x+4)^2-7=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=(x+4)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+6t-7=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t+7)(t-1)=0\).
Корни: \(t_1=-7\), \(t_2=1\).
Шаг 3. Берём только \(t=1\).
Шаг 4. Решаем \((x+4)^2=1\):
\(x+4=\pm1\Rightarrow x=-3\) или \(x=-5\).
Ответ: \(-5;\quad -3\).
Правильный ответ: -5;-3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: время туда = время обратно (с учётом остановки).
Шаг 1. Пусть скорость на пути А→В равна x км/ч, тогда на пути В→А она равна (x + 5) км/ч.
Шаг 2. Время в пути туда и обратно (с остановкой) одинаково:
180/x = 180/(x+5) + 3.
Шаг 3. Переносим 180/(x+5) влево:
180/x − 180/(x+5) = 3.
Шаг 4. Умножаем на x·(x+5): 3x² + 15x − 900 = 0.
Шаг 5. D = 11025, √D = 105. x = (−15+105)/(2·3) = 15.
Шаг 6. Скорость на обратном пути: 15 + 5 = 20 км/ч.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}-x^2-2x+3,& x\ge -2,\\-x-1,& x<-2.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: (1;3)∪{4}.
Ответ: (1;3)∪{4}.
Правильный ответ: (1;3)∪{4}
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 33, AC = 77, NC = 40.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.
Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = \(\frac{33}{77}\) = \(\frac{3}{7}\).
Шаг 2. Из подобия: BN/BC = \(\frac{3}{7}\), то есть BN = 3·BC/7.
Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 40.
Подставляем: BN = 3·(BN + 40)/7.
7·BN = 3·BN + 3·40.
(7−3)·BN = 120 ⟹ BN = 120/(7−3) = 30.
Ответ: 30.
Правильный ответ: 30
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Точка K — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: высота от K до AB равна среднему арифметическому высот от C и D.
Шаг 1. Пусть hC и hD — расстояния от C и D до прямой AB. K — середина CD,
поэтому высота hK = (hC + hD)/2.
Шаг 2. S(△KAB) = AB·hK/2 = AB·(hC+hD)/4.
Шаг 3. S(трапеции) = (AD+BC)·h/2; при AB = AD: S = AB·(hC+hD)/2.
Значит S(△KAB) = S(трапеции)/2. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 33 и 11, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 20.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: сумма углов при AD равна 90° → диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 1. ∠DAB + ∠ADB = 90° (углы при основании AD). Значит диагонали AC ⊥ BD.
Шаг 2. Окружность проходит через A и B, касается CD в точке T.
CT — касательная: CT² = степень точки C = CA · CB (секущая через C).
Шаг 3. Из подобия треугольников в трапеции с перпендикулярными диагоналями:
AB² = AD · BC (в правильной конфигурации). Проверяем: 20² = 400, AD·BC = 33·11 = 363.
Шаг 4. По теореме синусов в треугольнике TAB или через формулу касательной:
R = AB² / (2 · |AD − BC|) = ... или R из степени точки.
Вычисление: R = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.