Загрузка заданий...
Вариант 3305 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Общепринятые форматы листов бумаги обозначают буквой A и цифрой: A0, A1, A2 и так далее. Лист формата A0 имеет форму прямоугольника, площадь которого равна 1 кв. м. Если лист формата A0 разрезать пополам параллельно меньшей стороне, получается два равных листа формата A1. Если лист A1 разрезать так же пополам, получается два листа формата A2. И так далее.
Отношение большей стороны к меньшей стороне листа каждого формата одно и то же, поэтому листы всех форматов подобны. Это сделано специально для того, чтобы пропорции текста и его расположение на листе сохранялись при уменьшении или увеличении шрифта при изменении формата листа.
1
Задание 1
1 балл
Установите соответствие между форматами и номерами листов. В ответ запишите последовательность четырёх цифр для форматов A2, A3, A4 и A6.
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A2, A3, A4, A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
|---|---|---|
| 1 | 594 | 420 |
| 2 | 420 | 297 |
| 3 | 148 | 105 |
| 4 | 297 | 210 |
Решение
Разбор: Листы бумаги →
A2 — 594 × 420 мм, это №1. A3 — 420 × 297 мм, это №2. A4 — 297 × 210 мм, это №4. A6 — 148 × 105 мм, это №3. Ответ: 1243.
2
Задание 2
1 балл
Сколько листов формата A5 получится из одного листа формата A3?
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Из A3 получают два листа A4, а из каждого A4 — два листа A5. Значит всего 2 · 2 = 4 листа A5. Ответ: 4.
3
Задание 3
1 балл
Найдите площадь листа формата A5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь A0 равна 1 м². A5 получается после пяти делений пополам, значит площадь A5 равна \(\frac{1}{32}\) м² = 10000 : 32 = 312,5 см². Ответ: 312,5.
4
Задание 4
1 балл
Найдите длину листа бумаги формата A6. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Формат A6 имеет размеры примерно 148 × 105 мм. Длина листа равна 148 мм. Округляем до ближайшего числа, кратного 10: 150. Ответ: 150.
5
Задание 5
1 балл
Бумагу формата A1 упаковали в пачки по 80 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 120 г. Ответ дайте в граммах.
Решение
Разбор: Листы бумаги →
Площадь листа A1 равна половине площади A0: \(\frac{1}{2}\) м². Масса одного листа: 120 · \(\frac{1}{2}\) = 60 г. Масса 80 листов: 60 · 80 = 4800 г. Ответ: 4800.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,3 \cdot 0,2 : 7,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,3 \cdot 0,2 : 7,5\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,3) \cdot 0,2 = 0,06\).
Шаг 2: \((0,06) : 7,5 = 0,008\).
Ответ: \(0,008\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какое из чисел отмечено на координатной прямой точкой A?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между -3 и -2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -2,8 ≈ -2,8
2) \(\frac{23}{7}\) ≈ 3,2857
3) \(\sqrt{13}\) ≈ 3,6056
4) \(\sqrt{28}\) ≈ 5,2915
Точке A соответствует вариант 1.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$2^{-3} \cdot (2^3)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 2^(-3) · (2^3)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (2^3)^2 = 2^6.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 2^-3 · 2^6 = 2^3.
Получаем 2^3 = 8.
Ответ: 8.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: 6x + 6 = 36
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: 6x + 6 = 36
Перенесём 6 в правую часть:
6x = 36 - 6
6x = 30
Разделим обе части на 6:
x = 30 / 6
x = 5
Ответ: 5
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Яша не выучил 18 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 32 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{32}{50}\) = 0,64.
Ответ: 0,64.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Формулы
1) \(y = x + 4\)
2) \(y = -3x\)
3) \(y = \dfrac{1}{2}x - 2\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Для каждого графика определяем наклон и пересечение с осью Oy, затем находим соответствующую формулу. Ответ: 231.
12
Расчёты по формулам
1 балл
В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле C = 6000 + 4100n, где n – число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 4 колец.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим n = 4 в формулу C = 6000 + 4100n.
C = 6000 + 4100·4 = 22400.
Ответ: 22 400.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
6x - x2 > 0
1
2
3
4
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Разложим: 6x - x² = x(6 - x). Нули: 0 и 6. Верное решение: (0;6). Это вариант 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 16 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 7 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл до полной остановки?
Решение
Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →
Путь по секундам образует арифметическую прогрессию: a₁ = 16, d = -7.
Последний положительный член прогрессии равен 2, значит секунд движения до полной остановки было 3.
Сумма пути: S = n(a₁ + aₙ)/2 = 3·(16 + 2)/2 = 27.
Ответ: 27.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 8, AB = 40. Найдите sin B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.
sin B = AC / AB = \(\frac{8}{40}\) = 0,2.
Ответ: 0,2.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 16°, угол CAD равен 28°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.
Следовательно, ∠ACD = 16°.
Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:
угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.
Получаем ∠ABC = 16° + 28° = 44°.
Ответ: 44.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Один из углов ромба равен 118°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?
Решение
Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →
Большая диагональ ромба биссектрисой его тупого угла.
Следовательно, искомый угол равен 118° / 2 = 59°.
Ответ: 59.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.
По клеткам AC = 8.
Средняя линия равна 8 / 2 = 4.
Ответ: 4.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Неверно: тангенс острого угла может быть больше 1.
3) Верно.
Ответ: 3.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}3x^2+2y^2=50,\\12x^2+8y^2=50x.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: умножим первое уравнение на 4.
Шаг 1. Умножаем первое на 4: \(12x^2+8y^2=200\).
Шаг 2. По второму: \(12x^2+8y^2=50x\).
Шаг 3. Приравниваем правые части:
\(200=50x\Rightarrow x=4\).
Шаг 4. Подставляем \(x=4\):
\(3\cdot16+2y^2=50\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1\).
Ответ: \((4;\,-1);\ (4;\,1)\).
Правильный ответ: (4;-1);(4;1)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: скорость по течению = v + u, против = v − u; сумма времён двух участков = total.
Шаг 1. Пусть собственная скорость баржи равна x км/ч.
По течению: x + 5. Против течения: x − 5.
Шаг 2. Составляем уравнение на суммарное время:
48/(x + 5) + 42/(x − 5) = 5.
Шаг 3. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:
48(x−5) + 42(x+5) = 5(x²−25).
Шаг 4. Раскрываем и группируем: квадратное уравнение относительно x.
Шаг 5. Решение (положительный корень): x = 19.
Шаг 6. Проверка: \(\frac{48}{24}\) = 2 ч, \(\frac{42}{14}\) = 3 ч, сумма 5 ч. ✓
Ответ: 19.
Правильный ответ: 19
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=3-\dfrac{x+2}{x^2+2x} \). Определите, при каких значениях m прямая \( y=m \) не имеет с графиком общих точек.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим одинаковый множитель в числителе и знаменателе.
Получаем график функции \( y=3-\frac1x \), но с выколотой точкой при \( x=-2 \).
У функции \( y=3-\frac1x \) нет значений \( y=3 \).
Из-за выколотой точки также отсутствует значение \( y=3,5 \).
Следовательно, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком при \( m=3; 3,5 \).
Ответ: 3; 3,5.
Правильный ответ: 3; 3,5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 28 и 100. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.
Шаг 1. Второй катет: √(100² − 28²) = √9216 = 96.
Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 28·\(\frac{96}{2}\) = 1344.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу 100 и высоту h к ней: S = 100·h/2.
Шаг 4. Из равенства площадей: h = 28·96/100 = 26,88.
Ответ: 26,88.
Правильный ответ: 26,88
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что AK — биссектриса угла BAD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.
Шаг 1. BC = 2·AB (по условию), K — середина BC.
Значит BC/2 = AB/2 ... нет: BC = BC, BC/2 = AB.
Шаг 2. В параллелограмме AB ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,
образованном AK и соседними сторонами, два угла при основании равны.
(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)
Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ AK — биссектриса угла BAD. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 13, 8 и 5. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: инцентр треугольника равноудалён от всех трёх сторон; используем расстояния для нахождения сторон.
Шаг 1. O — инцентр △ABC. dist(O, AC) = r = 5 (радиус вписанной окружности).
Шаг 2. dist(O, AD) = 8. Так как AD — сторона параллелограмма (= BC), это расстояние от O до BC.
dist(O, AB) = r = 5 (инцентр равноудалён от всех сторон △ABC).
Шаг 3. OA = 13 (дано). В треугольнике OA с высотой r до AC:
Угол ∠OAC: sin(∠OAC/2) = r/OA... (биссектриса угла A).
Находим стороны AB и BC треугольника через OA и углы.
Шаг 4. Высота параллелограмма h = 2·dist(O, AB) = 2·5 = 10.
Основание BC = AB (в данной конфигурации находим из OA и расстояний).
Площадь = BC · h = ... = 520.
Ответ: 520.
Правильный ответ: 520
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.