Загрузка заданий...

Вариант 3381 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/50 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 205.

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 205/50 R18?

Решение

Разбор: Шины →

В маркировке 205/50 R18 ширина шины равна 205 мм, а высота боковины составляет 50% от ширины. H = 205 · 50 / 100 = 102.5 мм. Ответ: 102.5.

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/45 R17?

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/50 R16 и нового колеса 225/45 R17. Ответ: 12.9.

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/50 R16 получаем диаметр 621.4 мм. Ответ: 621.4.

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/50 R16? Результат округлите до десятых.

Решение

Разбор: Шины →

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/50 R16 и колеса 225/50 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.6.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$1,5 - 0,2$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $1,5 - 0,2$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(1,5) - 0,2 = 1,3$.

Ответ: $1,3$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

Какое из чисел расположено между числами -3,5 и -0,12?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{116}{25}$

$-\frac{15}{8}$

$\frac{23}{50}$

Решение

Разбор: Сравнение чисел: корни, десятичные и обыкновенные дроби →

Сравним числа -3,5 и -0,12. Нужно найти число, которое строго больше левой границы и строго меньше правой.

Проверяем варианты и получаем, что только вариант 3 ($-\frac{15}{8}$) лежит между этими числами.

Ответ: 3

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{50} + \sqrt{32})\sqrt{2}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√50 + √32)·√2.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √50 = 5√2, √32 = 4√2.

Тогда получаем (5√2 + 4√2)·√2 = 9√2·√2.

Так как √2·√2 = 2, имеем 9·2 = 18.

Ответ: 18.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-3}{x + 1} = 3$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: -3/(x + 1) = 3

Область допустимых значений: x != -1.

Умножим обе части уравнения на x + 1:

-3 = 3(x + 1)

Раскроем скобки:

-3 = 3x + 3

Перенесём число в левую часть:

-6 = 3x

x = -6 / 3

x = -2

Проверка ОДЗ: x = -2, x != -1, условие выполняется.

Ответ: -2

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 80 карманных фонариков, поступивших в продажу, 52 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 80.

Благоприятных исходов: 28 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{28}{80}$ = 0,35.

Ответ: 0,35.

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

А) график 1

Б) график 2

В) график 3

Коэффициенты

1) a > 0, c < 0

2) a < 0, c > 0

3) a > 0, c > 0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 123.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 150 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 150/(5²) = 6.

Ответ: 6.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-4x - 8 > -x - 2

(-∞;2)

(-∞;-2)

(2;+∞)

(-2;+∞)

Решение

Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →

Решим неравенство: -4x - 8 > -x - 2.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -3x < 6.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -3: x < -2.

Значит, x меньше -2.

Этому соответствует промежуток (-∞;-2).

Правильный ответ: 2.

Ответ: 2

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,5 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,1 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 9 секунд движения?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,5, d = 0,1, n = 9.

Сумма первых 9 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 8,1.

Ответ: 8,1.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

Катеты прямоугольного треугольника равны 60 и 80. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение

Разбор: Треугольник — элементы →

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c² = 60² + 80² = 3600 + 6400 = 10000.

Значит, c = 100.

Ответ: 100.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Угол A четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 71°. Найдите угол C этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

∠C = 180° - 71° = 109°.

Ответ: 109.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 38°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

В этой конфигурации данный угол равен половине острого угла ромба.

Следовательно, острый угол равен 2 · 38° = 76°.

Ответ: 76.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 4 и 6.

m = (4 + 6) / 2 = 5.

Ответ: 5.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

Медиана треугольника делит пополам угол, из вершины которого проведена.

Все диаметры окружности равны между собой.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.

3) Верно.

Ответ: 13.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2+y=12,\\9x^2-y=2.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения.

Шаг 1. Складываем:

$(5x^2+y)+(9x^2-y)=12+2\Rightarrow 14x^2=14$.

Шаг 2. $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=12-5x^2=12-5=7$.

Ответ: $(-1;\,7);\ (1;\,7)$.

Правильный ответ: (-1;7);(1;7)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Проценты и сухое вещество

Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 28%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 52 кг высушенных фруктов?

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: масса сухого вещества при сушке не меняется.

Шаг 1. Высушенные фрукты содержат 28% воды, значит сухого вещества 72%.

Шаг 2. Масса сухого вещества в 52 кг сухих фруктов:

52 · 72/100 = 37,44 кг.

Шаг 3. Свежие фрукты содержат 84% воды, значит сухого вещества 16%.

Шаг 4. Пусть масса свежих фруктов = x кг. Тогда 0,16·x = 37,44.

x = 37,44 / 0,16 = 234 кг.

Ответ: 234.

Правильный ответ: 234

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = -x^2 + 8|x| - 1\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 8x - 1.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 8x - 1.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = -1. В этой точке у графика локальный минимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = -1.

Проверка: при m = -1 уравнение имеет корни x = −8, x = 0, x = 8 — ровно три точки.

Ответ: -1.

Правильный ответ: -1

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8,4, а AB = 4.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.

Шаг 1. Из условия задачи D = 8,4, AB = 4.

Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².

AC² − 8,4·AC − 4² = 0.

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 8,4·AC − 16 = 0.

Положительный корень: AC = 10.

Проверка: D = (10² − 4²)/10 = $\frac{84}{10}$ = 8,4. ✓

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Треугольники

В треугольнике ABC с тупым углом B проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что треугольники A₁BC₁ и ABC подобны.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.

Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠BA₁A = 90°; CC₁ ⊥ AB ⟹ ∠BC₁C = 90°.

Шаг 2. Угол B тупой, поэтому основания A₁ и C₁ лежат на продолжениях сторон BC и BA за вершину B. Значит ∠A₁BC₁ = ∠ABC как вертикальные углы.

Шаг 3. Прямоугольные △BAA₁ и △BCC₁ имеют равные острые углы при B, поэтому подобны. Отсюда BA₁ : BA = BC₁ : BC.

Шаг 4. У △A₁BC₁ и △ABC угол при B равен (∠A₁BC₁ = ∠ABC), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁BC₁ ∼ △ABC. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 10, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 112° и 113°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 112° − 90° = 22°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 113° − 90° = 23°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 22° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 23° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 23° = 67°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 67° − 22° = 45°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(45°) = 10 / sin(45°) = 10√2.

Ответ: 10√2.

Правильный ответ: 10√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.