Загрузка заданий...
Вариант 3403 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 225/55 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 18 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 235.
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 225/60 R17?
Решение
Разбор: Шины →
В маркировке 225/60 R17 ширина шины равна 225 мм, а высота боковины составляет 60% от ширины. H = 225 · 60 / 100 = 135 мм. Ответ: 135.
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/45 R18?
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/55 R16 и нового колеса 235/45 R18. Ответ: 14.8.
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 225/55 R16 получаем диаметр 653.9 мм. Ответ: 653.9.
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/55 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Разбор: Шины →
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 225/55 R16 и колеса 235/55 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,125 + 0,45$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,125 + 0,45\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,125) + 0,45 = 0,575\).
Ответ: \(0,575\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел -3,9, \(\frac{17}{14}\), \(\frac{\sqrt{24}}{2}\), 3,8 отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 1 и 2.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) -3,9 ≈ -3,9
2) \(\frac{17}{14}\) ≈ 1,2143
3) \(\frac{\sqrt{24}}{2}\) ≈ 2,4495
4) 3,8 ≈ 3,8
Точке A соответствует вариант 2.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(\sqrt{75} + \sqrt{27})\sqrt{3}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (√75 + √27)·√3.
Вынесем полные квадраты из-под корня: √75 = 5√3, √27 = 3√3.
Тогда получаем (5√3 + 3√3)·√3 = 8√3·√3.
Так как √3·√3 = 3, имеем 8·3 = 24.
Ответ: 24.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -2x + 8y = -24 \\ 4x + 4y = 28 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-2x + 8y = -24
4x + 4y = 28
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 4, а второе — на -2.
Получим:
\((-2x + 8y = -24) \cdot 4\): -8x + 32y = -96
\((4x + 4y = 28) \cdot -2\): -8x - 8y = -56
Вычтем второе уравнение из первого:
40y = -40
y = -40 / 40 = -1
Подставим y = -1 в первое уравнение:
-2x + 8y = -24
Получаем x = 8.
Ответ: (8;-1)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.625 и 0.375: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.8, по нижнему 0.15.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.625 · 0.8 = 0.5.
Нижний путь: 0.375 · 0.15 = 0.05625.
Складываем: 0.5 + 0.05625 = 0.55625.
Ответ: 0,55625
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
А) \(y = 3x + 3\)
Б) \(y = -\dfrac{1}{2}x + 3\)
В) \(y = \dfrac{1}{2}x - 2\)
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Линейные функции. Графики →
Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 213.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Если тело массой m кг подвешено на высоте h м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле P = mgh, где g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения. Найдите массу тела, подвешенного на высоте 50 м над поверхностью земли, если его потенциальная энергия равна 9 800 джоулям. Ответ дайте в килограммах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = mgh выразим массу: m = P/(gh).
m = 9 800/(9,8·50) = 20.
Ответ: 20.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 ≤ 49
1
2
3
4
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Из неравенства x² <= 49 получаем границы x = ±7. Верное решение: [-7;7]. Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 8 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 200 мг. Найдите массу изотопа через 56 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 200 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 56 минут пройдёт 7 промежутков по 8 минут.
Тогда масса станет равна 200·(\(\frac{1}{2}\))^7 = 1,5625 мг.
Ответ: 1,5625.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 13/16, AB = 96. Найдите BC.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике cos B = BC / AB.
Значит, BC = AB · cos B = 96 · \(\frac{13}{16}\) = 78.
Ответ: 78.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 78°, угол CAD равен 54°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →
Углы ABD и ACD опираются на одну и ту же дугу AD, значит ∠ACD = ∠ABD.
Следовательно, ∠ACD = 78°.
Угол ABC опирается на дугу AC, состоящую из дуг AD и DC, поэтому
∠ABC = ∠ABD + ∠DBC, а здесь эквивалентно удобно взять в треугольнике ACD:
угол между AC и CD равен сумме углов, опирающихся на соответствующие дуги.
Получаем ∠ABC = 78° + 54° = 132°.
Ответ: 132.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.
Больший отрезок равен 19 / 2 = 9,5.
Ответ: 9,5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Во сколько раз отрезок AM длиннее отрезка BM?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Точка M лежит на стороне треугольника. Определяем соотношение по клеткам.
M делит AB: вектор AM=(3,6)=\(\frac{3}{4}\)·AB=(4,8). AM=3·BM.
Ответ: 3.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно.
2) Неверно: медиана вообще не обязана быть биссектрисой.
3) Верно.
Ответ: 13.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите неравенство: \(\frac{-19}{(x+5)^2-6}\ge 0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: числитель \(-19<0\), дробь \(\ge0\) только при отрицательном знаменателе.
Шаг 1. Условие: \((x+5)^2-6<0\).
Шаг 2. \((x+5)^2<6\).
Шаг 3. \(-\sqrt{6}<x+5<\sqrt{6}\).
Шаг 4. Вычитаем 5: \(-5-\sqrt{6}<x<-5+\sqrt{6}\).
Ответ: \((-5-\sqrt{6};\; -5+\sqrt{6})\).
Правильный ответ: (-5-√6;-5+√6)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.
По течению: x + 5. Против течения: x − 5.
Шаг 2. Составляем уравнение:
80/(x+5) + 23 + 80/(x−5) = 35.
Шаг 3. Переносим стоянку: 80/(x+5) + 80/(x−5) = 12.
Шаг 4. Умножаем на (x+5)(x−5) = x²−25:
80(x−5) + 80(x+5) = 12(x²−25).
Шаг 5. Левая часть: 2·80·x = 160x. Квадратное уравнение.
Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 15.
Шаг 7. Проверка: 4 + 23 + 8 = 35. ✓
Ответ: 15.
Правильный ответ: 15
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+1)((x-2))}{2-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+1),\ x\ne 2 \).
После преобразования получаем параболу \( y=-(x^2+a) \) с выколотой точкой при \( x=2 \).
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-2,5; -2; 2 \).
Ответ: \( -2,5; -2; 2 \).
Правильный ответ: -2,5; -2; 2
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 40, CD = 42, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 21.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 21, полухорда = AB/2 = 20.
R² = 21² + 20² = 441 + 400 = 841. R = 29.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 21.
d² = R² − 21² = 841 − 441 = 400. d = 20.
Ответ: 20.
Правильный ответ: 20
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Известно, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность и что продолжения сторон AB и CD четырёхугольника пересекаются в точке M. Докажите, что треугольники MBC и MDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать равенство вписанных углов на одну дугу в ABCD.
Шаг 1. ABCD — вписанный четырёхугольник; ∠ABD = ∠ACD (на дугу AD).
Шаг 2. ∠MBC = ∠MDA: оба опираются на дугу BC (вписанные в одну окружность).
Шаг 3. ∠MCB = ∠MAD: оба опираются на дугу CD.
Шаг 4. По двум равным углам △MBC ∼ △MDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 20, BC = 10.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки B относительно окружности связывает касательную и хорду.
Шаг 1. AB ⊥ BC (прямоугольная трапеция), окружность касается AB в точке E.
BE — касательная: BE² = степень точки B.
Шаг 2. Прямая через B пересекает окружность в C и D (хорда CD).
Степень точки B: BE² = BC · BD.
Шаг 3. BD = BC + CD_проекция. По свойству трапеции BD = AD = 20 (вертикальная хорда).
BE² = BC · BD = 10 · 20 = 200.
BE = √200 = 10√2.
Шаг 4. E лежит на AB, BE ⊥ CD (по симметрии окружности), поэтому dist(E, CD) = BE = 10√2.
Ответ: 10√2.
Правильный ответ: 10√2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.