Загрузка заданий...

Вариант 3416 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	гараж	баня	жилой дом	яблони
Цифры

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 1 →

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: гараж — 2, баня — 4, жилой дом — 7, яблони — 3.

В таблице объекты стоят в порядке: гараж, баня, жилой дом, яблони.

Получаем последовательность: 2473.

Ответ: 2473

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 4 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 2 →

На все дорожки нужно 25 плиток.

В одной упаковке 4 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 4⌉ = 7 упаковок.

Ответ: 7.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь открытого грунта огорода (вне теплицы). Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 3 →

Площадь огорода равна 120 кв. м, площадь теплицы — 12 кв. м. Площадь открытого грунта: 120 - 12 = 108 кв. м.

Ответ: 108.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь, которую занимает гараж, больше площади, которую занимает теплица?

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 4 →

Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью теплицы: (48 - 12) / 12 · 100% = 300%.

Ответ: 300.

5 Задание 5 1 балл

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	22 000 руб.	20 105 руб.	1,5 куб. м/ч	4,9 руб./куб. м
Электр. отопление	19 000 руб.	16 000 руб.	4,9 кВт	4,4 руб./(кВт·ч)

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 5 →

Начальные расходы на газовое отопление: 42105 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 35000 руб.

Разница в начальных расходах: 42105 - 35000 = 7105 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,5 · 4,9 = 7,35 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,4 = 21,56 руб./ч.

Экономия за час: 21,56 - 7,35 = 14,21 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 7105 / 14,21 = 500.

Ответ: 500.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,075 : 0,012$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,075 : 0,012$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,075) : 0,012 = 6,25$.

Ответ: $6,25$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} > 0$

a > 4

$\frac{1}{a} < 0$

-a > -3

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 3 < a < 4.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — верно.

2) a > 4 ⇔ a > 4 — неверно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) -a > -3 ⇔ a < 3 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: 2√2 · 2√5 · √10.

Перемножим коэффициенты: 2 · 2 = 4.

Подкоренные выражения дают: √2 · √5 · √10 = √(2·5·10) = √(100) = 10.

Тогда всё выражение равно 4 · 10 = 40.

Ответ: 40.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Найдите корни уравнения: x² + 4x - 21 = 0 Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.

Решение

Разбор: Квадратное уравнение →

Решим уравнение: x² + 4x - 21 = 0

Коэффициенты: a = 1, b = 4, c = -21.

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = 4² - 4·1·-21 = 100.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня.

x₁ = (-4 - √100) / 2 = -7

x₂ = (-4 + √100) / 2 = 3

Ответ: -7;3

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 50 карманных фонариков, поступивших в продажу, 45 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 50.

Благоприятных исходов: 5 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = $\frac{5}{50}$ = 0,1.

Ответ: 0,1.

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a < 0, c > 0

Б) a > 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 321.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F = 1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 35 градусов по шкале Цельсия?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_C = 35 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.

t_F = 1,8·(35) + 32 = 95.

Ответ: 95.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

-7x - 6 ≥ -2x + 7

[-2,6;+∞)

[2,6;+∞)

[-0,2;+∞)

(-∞;-2,6]

Решение

Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →

Решим неравенство: -7x - 6 >= -2x + 7.

Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: -5x <= 13.

Так как делим на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Делим обе части на -5: x <= -2,6.

Значит, x меньше или равно -2,6.

Этому соответствует промежуток (-∞;-2,6].

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

14 Задачи на прогрессии 1 балл

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 8° C. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 5 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -7° C.

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Температура уменьшается равномерно на 8° C в минуту.

Через 5 минут изменение составит 8·5 = 40° C.

Итоговая температура: -7 - 40 = -47.

Ответ: -47.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 11, AB = 20. Найдите sin B.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике sin острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Для угла B противолежащий катет — AC, гипотенуза — AB.

sin B = AC / AB = $\frac{11}{20}$ = 0,55.

Ответ: 0,55.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 12,5. Найдите BC, если AC = 7.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.

Поэтому AB = 2R = 25.

Тогда треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при C.

По теореме Пифагора находим неизвестный катет.

Ответ: 24.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Диагонали AC и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, BO = 13, AB = 18. Найдите AC.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.

Значит, BD = 2·BO = 2·13 = 26.

Так как AC = BD, получаем:

AC = 26.

Ответ: 26.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →

Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине стороны AC.

По клеткам AC = 10.

Средняя линия равна 10 / 2 = 5.

Ответ: 5.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какие из следующих утверждений верны?

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.

Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.

3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

Ответ: 12.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Найдите значение выражения $16a-9b+42$, если $\dfrac{2a-3b+8}{3a-2b+8}=6$.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: из условия дроби выразить $16a-9b$ и подставить.

Шаг 1. Из условия: $2a-3b+8 = 6(3a-2b+8)$.

Шаг 2. Раскрываем: $2a-3b+8 = 18a-12b+48$.

Шаг 3. Переносим влево: $0 = 16a-9b+40$, откуда $16a-9b = -40$.

Шаг 4. Вычисляем: $16a-9b+42 = -40+42 = 2$.

Ответ: 2.

Правильный ответ: 2

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 26 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 4 км/ч навстречу поезду, за 90 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).

Шаг 1. Поезд и пешеход движутся навстречу. Относительная скорость:

26 + 4 = 30 км/ч.

Шаг 2. Переводим в м/с: 30 × 1000 / 3600 = $\frac{25}{3}$ м/с.

Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 90 с, значит его длина:

$\frac{25}{3}$ × 90 = 750 м.

Ответ: 750.

Правильный ответ: 750

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+2,25)((x-1))}{1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=-(x^2+2,25),\ x\ne 1 $.

После сокращения получаем параболу $ y=-(x^2+a) $, но точка при $ x=1 $ выколота. Прямая $ y=kx $ имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-3,25; -3; 3 $.

Ответ: $ -3,25; -3; 3 $.

Правильный ответ: -3,25; -3; 3

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 12, а сторона BC в 1,5 раза меньше стороны AB.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: △AKP ∼ △ABC (вписанные углы на одной дуге), коэффициент подобия AP/AC.

Шаг 1. Угол A общий; ∠APK = ∠ACB (вписанные, дуга BK). По двум углам △AKP ∼ △ABC.

Шаг 2. KP/BC = AP/AB.

По условию BC в 1,5 раза меньше AB, то есть AB = 1,5·BC.

KP = AP · BC/AB = AP / 1,5 = 12 / 1,5 = 8.

Ответ: 8.

Правильный ответ: 8

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Сторона CD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AD. Точка N — середина стороны CD. Докажите, что AN — биссектриса угла BAD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: доказать равнобедренность треугольника внутри параллелограмма.

Шаг 1. CD = 2·AD (по условию), N — середина CD.

Значит CD/2 = AD/2 ... нет: CD = CD, CD/2 = AD.

Шаг 2. В параллелограмме AD ∥ смежной стороне, поэтому в треугольнике,

образованном AN и соседними сторонами, два угла при основании равны.

(Накрест лежащие углы при параллельных прямых.)

Шаг 3. Равенство двух углов ⟹ равнобедренность ⟹ AN — биссектриса угла BAD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 36. Найдите стороны треугольника ABC.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.

Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.

Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.

Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.

Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−18, 0), D = (18, 0) (|AD| = 36).

В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.

Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (36, h). На прямой BE точка E = (0, 36 − h), так как BE = 36.

Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·$\frac{36}{4}$ = 27.

Шаг 5. AB = √(h² + (18)²) = √(729 + 324) = 9√13;

BC = 2·AB = 18√13; CA = 27√5.

Ответ: 9√13; 18√13; 27√5.

Правильный ответ: 9√13; 18√13; 27√5

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.