Загрузка заданий...
Вариант 3505 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 215/65 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 235.
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 275/70 R16?
Решение
Разбор: Шины →
В маркировке 275/70 R16 ширина шины равна 275 мм, а высота боковины составляет 70% от ширины. H = 275 · 70 / 100 = 192.5 мм. Ответ: 192.5.
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 235/50 R18?
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/65 R16 и нового колеса 235/50 R18. Ответ: 6.3.
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 215/65 R16 получаем диаметр 685.9 мм. Ответ: 685.9.
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/65 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Разбор: Шины →
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 215/65 R16 и колеса 225/65 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.9.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{1}{2} + \frac{9}{4}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{1}{2} + \frac{9}{4}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{1}{2}) + \frac{9}{4} = \frac{11}{4}\).
Получили дробь \(\frac{11}{4}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2,75\).
Ответ: \(2,75\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какому из следующих чисел соответствует точка A на координатной прямой?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 4 и 5.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) 3,3 ≈ 3,3
2) \(\frac{52}{15}\) ≈ 3,4667
3) \(\sqrt{21}\) ≈ 4,5826
4) \(\sqrt{28}\) ≈ 5,2915
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(6\sqrt{3})^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (6√3)².
Используем свойство степени произведения: (6√3)² = 6² · (√3)².
Получаем 36 · 3 = 108.
Ответ: 108.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Найдите корни уравнения:
x2 - 3x + 2 = 0
Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания через точку с запятой.
Решение
Разбор: Квадратное уравнение →
Решим уравнение: x2 - 3x + 2 = 0
Коэффициенты: a = 1, b = -3, c = 2.
Найдём дискриминант:
D = b² - 4ac = -3² - 4·1·2 = 1.
Так как D > 0, уравнение имеет два корня.
x₁ = (3 - √1) / 2 = 1
x₂ = (3 + √1) / 2 = 2
Ответ: 1;2
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события \(B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Читаем дерево слева направо.
Из точки S выходят две ветки — это событие A и противоположное ему. На них написано 0.1 и 0.9: вероятности того, что опыт пойдёт по верхнему или по нижнему пути.
От каждой из них идут ещё две ветки — к B и к «не B». Число на ветке — вероятность B при условии, что до неё дошли: по верхнему пути 0.375, по нижнему 0.8.
Событие B наступает двумя способами, поэтому проходим оба пути и складываем. Вероятность пути — произведение чисел на его ветках.
Верхний путь: 0.1 · 0.375 = 0.0375.
Нижний путь: 0.9 · 0.8 = 0.72.
Складываем: 0.0375 + 0.72 = 0.7575.
Ответ: 0,7575
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
Коэффициенты
А) a < 0, c > 0
Б) a > 0, c < 0
В) a > 0, c > 0
Графики
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 321.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле a = ω2R, где ω – угловая скорость (в с-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 5 с-1, а центростремительное ускорение равно 200 м/с2. Ответ дайте в метрах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².
R = 200/(5²) = 8.
Ответ: 8.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 > 64
1
2
3
4
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Из неравенства x² > 64 получаем границы x = ±8. Верное решение: (-∞;-8) ∪ (8;+∞). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 400 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 7 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 400, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 7 см, а после 5-го уже меньше.
Ответ: 5.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = \(\frac{1}{2}\) · 16 · 31 = 496/2 = 248.
Ответ: 248.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 8/17. Диаметр описанной около него окружности равен 34. Найдите площадь прямоугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.
Значит, диагональ равна 34.
Если sin угла между стороной и диагональю известен, то можно найти вторую тригонометрическую функцию и катеты прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю.
После вычисления сторон получаем площадь 480.
Ответ: 480.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Основания трапеции равны 8 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные половинам оснований.
Больший отрезок равен 19 / 2 = 9,5.
Ответ: 9,5.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 8 и 6.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10.
Ответ: 10.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какие из следующих утверждений верны?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно.
2) Верно: у прямоугольника сумма противоположных углов 180°, значит он вписанный.
3) Неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.
Ответ: 12.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Найдите значение выражения \(17a-35b+49\), если \(\dfrac{8a-5b+9}{5a-8b+9}=5\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: из условия дроби выразить \(17a-35b\) и подставить.
Шаг 1. Из условия: \(8a-5b+9 = 5(5a-8b+9)\).
Шаг 2. Раскрываем: \(8a-5b+9 = 25a-40b+45\).
Шаг 3. Переносим влево: \(0 = 17a-35b+36\), откуда \(17a-35b = -36\).
Шаг 4. Вычисляем: \(17a-35b+49 = -36+49 = 13\).
Ответ: 13.
Правильный ответ: 13
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 26 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 18 часов после отплытия из него.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.
Шаг 1. Пусть скорость течения равна x км/ч.
По течению: 26 + x. Против течения: 26 − x.
Шаг 2. Составляем уравнение:
165/(26+x) + 5 + 165/(26−x) = 18.
Шаг 3. Переносим стоянку: 165/(26+x) + 165/(26−x) = 13.
Шаг 4. Умножаем на (26+x)(26−x) = 676−x²:
165(26−x) + 165(26+x) = 13(676−x²).
Шаг 5. Левая часть: 2·165·26 = 8580. Квадратное уравнение относительно x.
Шаг 6. Решение: x = 4.
Шаг 7. Проверка: \(\frac{11}{2}\) + 5 + \(\frac{15}{2}\) = 18. ✓
Ответ: 4.
Правильный ответ: 4
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}3x-3,& x<2,\\-3x+8{,}5,& 2\le x\le 3,\\3{,}5x-11,& x>3.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {-0,5}∪(2,5;3).
Ответ: {-0,5}∪(2,5;3).
Правильный ответ: {-0,5}∪(2,5;3)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 5,25, а AB = 9.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: использовать формулу D = (AC² − AB²)/AC и решить уравнение относительно AC.
Шаг 1. Из условия задачи D = 5,25, AB = 9.
Шаг 2. Формула: D = (AC² − AB²)/AC ⟹ D·AC = AC² − AB².
AC² − 5,25·AC − 9² = 0.
Шаг 3. Решаем квадратное уравнение: AC² − 5,25·AC − 81 = 0.
Положительный корень: AC = 12.
Проверка: D = (12² − 9²)/12 = \(\frac{63}{12}\) = 5,25. ✓
Ответ: 12.
Правильный ответ: 12
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Окружности
Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка T пересечения касательной с линией центров — центр гомотетии.
Шаг 1. Проведём радиусы IA и JB к точкам касания касательной.
Оба радиуса ⊥ касательной ⟹ IA ∥ JB.
Шаг 2. В треугольниках TIA и TJB (T — точка на IJ):
∠ATI = ∠BTJ (вертикальные), IA ∥ JB ⟹ оба треугольника подобны.
Коэффициент подобия = TI/TJ = m:n.
Шаг 3. TI/TJ = r₁/r₂ = d₁/d₂.
Следовательно, диаметры относятся как m:n. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 44 и CD = 8 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: угол между диагоналями вписанного четырёхугольника = полусумма дуг.
Шаг 1. Диагонали пересекаются в K. ∠AKB = 60°.
По свойству вписанного угла: ∠AKB = (дуга AB + дуга CD) / 2.
⟹ дуга AB + дуга CD = 120°.
Шаг 2. Обозначим центральные углы: ∠AOB = 2α, ∠COD = 2β (O — центр).
α + β = 60°.
Шаг 3. По теореме синусов: AB = 2R·sin α, CD = 2R·sin β.
AB² + CD² + 2·AB·CD·cos(∠...) = ... — используем формулу для суммы квадратов хорд.
Шаг 4. AB² + CD² = 4R²(sin²α + sin²β).
При α + β = 60°: sin²α + sin²β = 1 − cos(α+β)·cos(α−β) + ... → проверяем числово.
AB² + CD² + AB·CD = 3R² (формула для угла 60°).
Шаг 5. 44² + 8² + 44·8 = 3R².
2352 = 3R² ⟹ R² = 2352/3.
R = 28.
Ответ: 28.
Правильный ответ: 28
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.