Загрузка заданий...

Вариант 3508 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 205/55 R16.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 215.

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 215/55 R17?

Решение

Разбор: Шины →

В маркировке 215/55 R17 ширина шины равна 215 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 215 · 55 / 100 = 118.25 мм. Ответ: 118.25.

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/45 R17?

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и нового колеса 225/45 R17. Ответ: 2.4.

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 205/55 R16 получаем диаметр 631.9 мм. Ответ: 631.9.

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/55 R16? Результат округлите до десятых.

Решение

Разбор: Шины →

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и колеса 215/55 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{2}{3} : \frac{2}{5} : \frac{1}{12}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{2}{3} : \frac{2}{5} : \frac{1}{12}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{2}{3}) : \frac{2}{5} = \frac{5}{3}$.

Шаг 2: $(\frac{5}{3}) : \frac{1}{12} = \frac{20}{1}$.

Получили дробь 20.

Эта дробь равна конечной десятичной дроби $20$.

Ответ: $20$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

9 - a > 0

-a > -8

$\frac{1}{a} < 0$

a > 9

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 8 < a < 9.

Проверим варианты ответа:

1) 9 - a > 0 ⇔ a < 9 — верно.

2) -a > -8 ⇔ a < 8 — неверно.

3) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

4) a > 9 ⇔ a > 9 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(5\sqrt{11})^2$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (5√11)².

Используем свойство степени произведения: (5√11)² = 5² · (√11)².

Получаем 25 · 11 = 275.

Ответ: 275.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{-2}{x - 8} = -2$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: -2/(x - 8) = -2

Область допустимых значений: x != 8.

Умножим обе части уравнения на x - 8:

-2 = -2(x - 8)

Раскроем скобки:

-2 = -2x + 16

Перенесём число в левую часть:

-18 = -2x

x = -18 / -2

x = 9

Проверка ОДЗ: x = 9, x != 8, условие выполняется.

Ответ: 9

10 Статистика, вероятности 1 балл

В среднем из 100 карманных фонариков, поступивших в продажу, 72 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →

Всего равновозможных исходов: 100.

Благоприятных исходов: 28 (исправный фонарик).

Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P = 28/100 = 0,28.

Ответ: 0,28.

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a < 0, c > 0

Б) a > 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 132.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с²) можно вычислить по формуле a = ω²R, где ω – угловая скорость (в с^-1), а R – радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус R, если угловая скорость равна 5 с^-1, а центростремительное ускорение равно 225 м/с². Ответ дайте в метрах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Из формулы a = ω²R выразим радиус: R = a/ω².

R = 225/(5²) = 9.

Ответ: 9.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² ≤ 36

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Из неравенства x² <= 36 получаем границы x = ±6. Верное решение: [-6;6]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 6 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 30 минут. Ответ дайте в миллиграммах.

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 160 и знаменателем $\frac{1}{2}$.

За 30 минут пройдёт 5 промежутков по 6 минут.

Тогда масса станет равна 160·($\frac{1}{2}$)^5 = 5 мг.

Ответ: 5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 62°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Треугольник — углы →

Биссектриса делит угол пополам.

Поэтому ∠BAD = 62° : 2 = 31°.

Ответ: 31.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 24°. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

Если центр описанной окружности лежит на стороне AB, то AB — диаметр окружности.

Тогда угол ACB опирается на диаметр и равен 90°.

Следовательно, ∠ABC = 90° - 24° = 66°.

Ответ: 66.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Один из углов ромба равен 118°. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Большая диагональ ромба биссектрисой его тупого угла.

Следовательно, искомый угол равен 118° / 2 = 59°.

Ответ: 59.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.

По клеткам радиусы кругов равны 9 и 3.

Искомое отношение площадей равно (9 / 3)² = 9.

Ответ: 9.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.

2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.

3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}3x^2+y=6,\\4x^2-y=1.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: складываем уравнения.

Шаг 1. Складываем:

$(3x^2+y)+(4x^2-y)=6+1\Rightarrow 7x^2=7$.

Шаг 2. $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$.

Шаг 3. Находим $y$:

$y=6-3x^2=6-3=3$.

Ответ: $(-1;\,3);\ (1;\,3)$.

Правильный ответ: (-1;3);(1;3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 69 км/ч, а вторую — со скоростью 111 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: половины пути одинаковые, поэтому применяем формулу гармонического среднего.

Шаг 1. Пусть весь путь равен 2S. Время на первой половине: S/69 ч.

Шаг 2. Время на второй половине: S/111 ч.

Шаг 3. Средняя скорость = 2S / (S/69 + S/111) = 2 / ($\frac{1}{69}$ + 1/111).

Шаг 4. По формуле: v_ср = 2·69·111 / (69 + 111) = 15318 / 180 = 85,1 км/ч.

Ответ: 85,1.

Правильный ответ: 85,1

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Функции, содержащие модули

Постройте график функции \[y = x^2 - 2|x| + 10\] и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно три общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.

Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = x^2 - 2x + 10.

Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = x^2 + 2x + 10.

Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 10. В этой точке у графика локальный максимум.

Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный максимум, то есть при m = 10.

Проверка: при m = 10 уравнение имеет корни x = −2, x = 0, x = 2 — ровно три точки.

Ответ: 10.

Правильный ответ: 10

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 9.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: угол вписанный в диаметр = 90° — точки P и K лежат на окружности с диаметром BH.

Шаг 1. Так как BH — диаметр, любой вписанный угол, опирающийся на него, равен 90°.

Значит ∠BPH = 90° и ∠BKH = 90°, то есть P и K — основания перпендикуляров из H.

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике ABC точка H — основание высоты из B.

Четырёхугольник BPHK — прямоугольник (у него все углы прямые).

Шаг 3. В прямоугольнике PK = BH (противоположные стороны).

PK = BH = 9.

Ответ: 9.

Правильный ответ: 9

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Шаг 1. Точка M лежит на биссектрисе угла A.

⟹ расстояние от M до обеих сторон угла A одинаково.

Шаг 2. Точка M лежит на биссектрисе угла D.

⟹ расстояние от M до обеих сторон угла D одинаково.

Шаг 3. Объединяя: расстояние от M до каждой из прямых AB, AD и CD одинаково. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 8, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 129° и 96°.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: если середина стороны равноудалена от всех вершин, она — центр описанной окружности, а сторона — диаметр.

Шаг 1. M — середина AD и MA = MB = MC = MD, значит M — центр описанной окружности.

Тогда AD = 2R (диаметр).

Шаг 2. ∠ABD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр AD).

∠DBC = ∠B − 90° = 129° − 90° = 39°.

Шаг 3. ∠ACD = 90° (аналогично). ∠ACB = ∠C − 90° = 96° − 90° = 6°.

Шаг 4. ∠CAD = ∠CBD = 39° (вписанные углы на одну дугу CD).

∠ADB = ∠ACB = 6° (вписанные углы на одну дугу AB).

∠DAB = 90° − ∠ADB = 90° − 6° = 84°.

Шаг 5. ∠BAC = ∠DAB − ∠CAD = 84° − 39° = 45°.

Шаг 6. По теореме синусов: BC = AD · sin(∠BAC).

AD = BC / sin(45°) = 8 / sin(45°) = 8√2.

Ответ: 8√2.

Правильный ответ: 8√2

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.