Загрузка заданий...

Вариант 3613 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/70 R14.

Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

1 Задание 1 1 балл

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 195.

2 Задание 2 1 балл

Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 225/40 R18?

Решение

Разбор: Шины →

В маркировке 225/40 R18 ширина шины равна 225 мм, а высота боковины составляет 40% от ширины. H = 225 · 40 / 100 = 90 мм. Ответ: 90.

3 Задание 3 1 балл

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/60 R15?

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и нового колеса 195/60 R15. Ответ: 0.4.

4 Задание 4 1 балл

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение

Разбор: Шины →

Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/70 R14 получаем диаметр 614.6 мм. Ответ: 614.6.

5 Задание 5 1 балл

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 195/70 R14? Результат округлите до десятых.

Решение

Разбор: Шины →

Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и колеса 195/70 R14, затем находим процентное изменение. Ответ: 2.3.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$\frac{1}{5} : 0,2 \cdot \frac{5}{8}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с обыкновенными и десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $\frac{1}{5} : 0,2 \cdot \frac{5}{8}$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(\frac{1}{5}) : 0,2 = 1$.

Шаг 2: $(1) \cdot \frac{5}{8} = 0,625$.

Получили результат $0,625$.

Ответ: $0,625$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

a + 7 > 0

a + 8 < 0

$\frac{1}{a} > 0$

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что -8 < a < -7.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — верно.

2) a + 7 > 0 ⇔ a > -7 — неверно.

3) a + 8 < 0 ⇔ a < -8 — неверно.

4) $\frac{1}{a} > 0$ ⇔ a > 0 — неверно.

Правильный ответ: 1.

Ответ: 1

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{5} - 4)(\sqrt{5} + 4)$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√5 - 4)(√5 + 4).

Это разность квадратов: (x-y)(x+y)=x²-y².

Тогда (√5)² - 4² = 5 - 16 = -11.

Ответ: -11.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{(7x - 5)}{4} - \frac{(2x - 8)}{5} + 8x = -9$$

Решение

Разбор: Линейное уравнение →

Решим уравнение: (7x - 5)/4 - (2x - 8)/5 + 8x = -9

Домножим обе части на НОК знаменателей 4 и 5, то есть на 20.

Получим:

(35x - 25) - (8x - 32) + 160x = -180

Приведём подобные слагаемые:

187x + 7 = -180

Перенесём число в правую часть:

187x = -187

Разделим обе части на 187:

x = -187 / 187

x = -1

Ответ: -1

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. Точками показаны все элементарные события и около каждого указана его вероятность. Найдите вероятность события $\overline{A} \cup B$.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Складываем вероятности всех точек, принадлежащих нужному событию.

Получаем 0,5.

Ответ: 0,5

11 Графики функций 1 балл

На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты

А) a > 0, c < 0

Б) a > 0, c > 0

В) a < 0, c > 0

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Квадратичная функция. Графики →

Знак a определяется направлением ветвей параболы, знак c — значением функции при x = 0, то есть точкой пересечения с осью Oy. Ответ: 312.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула t_C = 5(t_F − 32)/9, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Цельсия соответствует -103 градусов по шкале Фаренгейта?

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим t_F = -103 в формулу t_C = 5(t_F − 32)/9.

t_C = 5·(-103 − 32)/9 = -75.

Ответ: -75.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства:

(x + 4)(x - 8) ≤ 0

Решение

Разбор: Рациональные неравенства — выбор решения →

Нули выражения: x = -4 и x = 8. На числовой прямой отмечаем точки -4 и 8 и определяем знак произведения на промежутках. Для неравенства (x + 4)(x - 8) <= 0 получаем решение [-4;8]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 560 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?

Решение

Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →

Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 560, q = $\frac{1}{2}$.

Проверяем последовательно: после 5-го отскока высота ещё не меньше 25 см, а после 6-го уже меньше.

Ответ: 6.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 7/12, BC = 48. Найдите AC.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.

Значит, AC = BC · tg B = 48 · $\frac{7}{12}$ = 28.

Ответ: 28.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В окружности с центром O AC и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 88°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение

Разбор: Окружность — центральные и вписанные углы →

Так как AC и BD — диаметры, центральные углы AOD и AOB смежные.

Поэтому ∠AOB = 180° - 88° = 92°.

Вписанный угол ACB опирается на ту же дугу AB, что и центральный угол AOB.

Следовательно, ∠ACB = ∠AOB / 2 = 92° / 2 = 46°.

Ответ: 46.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 4 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — трапеция →

При такой высоте большее основание делится на отрезки x и x + меньшее основание.

Следовательно, меньшее основание равно 7 - 4 = 3.

Ответ: 3.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →

По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 6 и 8.

Ищем расстояние по теореме Пифагора.

d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Ответ: 10.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Диагонали ромба равны.

Тангенс любого острого угла меньше единицы.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Верно.

2) Неверно.

3) Неверно.

Ответ: 1.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}2x^2-5x=y,\\2x-5=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: приравниваем правые части.

Шаг 1. $2x^2-5x=2x-5$.

Шаг 2. Переносим влево: $2x^2-7x+5=0$.

Шаг 3. Разложим: $(2x-5)(x-1)=0$.

Корни: $x=\dfrac{5}{2}$ или $x=1$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{5}{2}$: $y=2\cdot\dfrac{5}{2}-5=0$.

При $x=1$: $y=2-5=-3$.

Ответ: $\left(\dfrac{5}{2};\,0\right);\ (1;\,-3)$.

Правильный ответ: (5/2;0);(1;-3)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия из него.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: путь по течению + стоянка + путь против течения = полное время.

Шаг 1. Пусть скорость теплохода в неподвижной воде равна x км/ч.

По течению: x + 4. Против течения: x − 4.

Шаг 2. Составляем уравнение:

280/(x+4) + 15 + 280/(x−4) = 39.

Шаг 3. Переносим стоянку: 280/(x+4) + 280/(x−4) = 24.

Шаг 4. Умножаем на (x+4)(x−4) = x²−16:

280(x−4) + 280(x+4) = 24(x²−16).

Шаг 5. Левая часть: 2·280·x = 560x. Квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение (положительный корень): x = 24.

Шаг 7. Проверка: 10 + 15 + 14 = 39. ✓

Ответ: 24.

Правильный ответ: 24

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $\; y=\begin{cases}2x-2,& x<3,\\-3x+13,& 3\le x\le 4,\\1{,}5x-7,& x>4.\end{cases}$ Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком две общие точки.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.

Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.

По анализу графика получаем: (-1;1)∪{4}.

Ответ: (-1;1)∪{4}.

Правильный ответ: (-1;1)∪{4}

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Треугольники

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 21, AC = 35, NC = 18.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: MN ∥ AC — треугольники BMN и BAC подобны, коэффициент подобия = MN/AC.

Шаг 1. Коэффициент подобия: k = MN/AC = $\frac{21}{35}$ = $\frac{3}{5}$.

Шаг 2. Из подобия: BN/BC = $\frac{3}{5}$, то есть BN = 3·BC/5.

Шаг 3. BC = BN + NC = BN + 18.

Подставляем: BN = 3·(BN + 18)/5.

5·BN = 3·BN + 3·18.

(5−3)·BN = 54 ⟹ BN = 54/(5−3) = 27.

Ответ: 27.

Правильный ответ: 27

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов A и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Шаг 1. Точка M лежит на биссектрисе угла A.

⟹ расстояние от M до обеих сторон угла A одинаково.

Шаг 2. Точка M лежит на биссектрисе угла D.

⟹ расстояние от M до обеих сторон угла D одинаково.

Шаг 3. Объединяя: расстояние от M до каждой из прямых AB, AD и CD одинаково. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 11, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 7.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 7.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 7 + 7 = 14.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 11 · 14 = 154.

Ответ: 154.

Правильный ответ: 154

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.