Загрузка заданий...
Вариант 3682 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
| Объекты | яблони | теплица | сарай | жилой дом |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 1 →
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: яблони — 3, теплица — 5, сарай — 1, жилой дом — 7.
В таблице объекты стоят в порядке: яблони, теплица, сарай, жилой дом.
Получаем последовательность: 3517.
Ответ: 3517
2
Задание 2
1 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 8 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 2 →
На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.
В одной упаковке 8 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 8⌉ = 9 упаковок.
Ответ: 9.
3
Задание 3
1 балл
Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 3 →
Ближайшие точки жилого дома и гаража находятся на расстоянии 3 клеток по вертикали. Одна клетка соответствует 2 м, поэтому расстояние равно 3 · 2 = 6 м.
Ответ: 6.
4
Задание 4
1 балл
Сколько процентов от площади всего огорода занимает теплица?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 4 →
Площадь теплицы 12 кв. м, площадь огорода 120 кв. м. 12 / 120 · 100% = 10%.
Ответ: 10.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
| Нагреватель (котёл) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа / средн. мощность | Стоимость газа / электроэнергии | |
|---|---|---|---|---|
| Газовое отопление | 18 000 руб. | 13 896 руб. | 1,6 куб. м/ч | 4,7 руб./куб. м |
| Электр. отопление | 15 000 руб. | 9 000 руб. | 4,7 кВт | 4,4 руб./(кВт·ч) |
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 5 →
Начальные расходы на газовое отопление: 31896 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 24000 руб.
Разница в начальных расходах: 31896 - 24000 = 7896 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,7 = 7,52 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,7 · 4,4 = 20,68 руб./ч.
Экономия за час: 20,68 - 7,52 = 13,16 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 7896 / 13,16 = 600.
Ответ: 600.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{5}{8} + \frac{2}{3} : \frac{2}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{5}{8} + \frac{2}{3} : \frac{2}{3}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{2}{3}) : \frac{2}{3} = \frac{1}{1}\).
Шаг 2: \((\frac{5}{8}) + \frac{1}{1} = \frac{13}{8}\).
Получили дробь \(\frac{13}{8}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(1,625\).
Ответ: \(1,625\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Одно из чисел \(\frac{-50}{13}\), \(\frac{4}{3}\), \(\frac{\sqrt{19}}{2}\), 3,86 отмечено на координатной прямой точкой A. Укажите это число.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
По чертежу видно, что точка A имеет координату между 2 и 3.
Сравним варианты по приближённым значениям:
1) \(\frac{-50}{13}\) ≈ -3,8462
2) \(\frac{4}{3}\) ≈ 1,3333
3) \(\frac{\sqrt{19}}{2}\) ≈ 2,1794
4) 3,86 ≈ 3,86
Точке A соответствует вариант 3.
Правильный ответ: 3.
Ответ: 3
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$3\sqrt{11} \cdot 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{33}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 3√11 · 5√3 · √33.
Перемножим коэффициенты: 3 · 5 = 15.
Подкоренные выражения дают: √11 · √3 · √33 = √(11·3·33) = √(1089) = 33.
Тогда всё выражение равно 15 · 33 = 495.
Ответ: 495.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите уравнение: $$\frac{(-x - 4)}{4} - \frac{(8x - 9)}{2} - 4x = 53$$
Решение
Разбор: Линейное уравнение →
Решим уравнение: (-x - 4)/4 - (8x - 9)/2 - 4x = 53
Домножим обе части на НОК знаменателей 4 и 2, то есть на 4.
Получим:
(-1x - 4) - (16x - 18) - 16x = 212
Приведём подобные слагаемые:
-33x + 14 = 212
Перенесём число в правую часть:
-33x = 198
Разделим обе части на -33:
x = 198 / -33
x = -6
Ответ: -6
10
Статистика, вероятности
1 балл
На экзамене 50 билетов, Сеня не выучил 11 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 39 (выученный билет).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{39}{50}\) = 0,78.
Ответ: 0,78.
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
А) \(y = \sqrt{x}\)
Б) \(y = x^2 - 4\)
В) \(y = 2x - 4\)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 231.
Ответ: 231
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 80 Вт, а сила тока равна 4 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 80/(4²) = 5.
Ответ: 5.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 0,9 − 3x > -23,1 \\ x + 0,2 \geqslant -0,2 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: [-0,4;8). Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,5 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 7 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 4,5 м, q = \(\frac{1}{3}\).
Пороговая высота равна 7 см = 0,07 м.
После 4-го прыжка высота ещё не меньше порога, а после 5-го прыжка уже меньше.
Ответ: 5.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 7/6, BC = 18. Найдите AC.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.
Значит, AC = BC · tg B = 18 · \(\frac{7}{6}\) = 21.
Ответ: 21.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Периметр треугольника равен 33, одна из сторон равна 40, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.
p = 33 / 2 = 16,5.
S = p·r = 16,5 · 5 = 82,5.
Ответ: 82,5.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Площадь параллелограмма равна 56, а две его стороны равны 7 и 28. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Высоты к сторонам a и b находятся из формул S = a·h₁ и S = b·h₂.
h₁ = 56 / 7 = 8, h₂ = 56 / 28 = 2.
Требуемая высота равна 2.
Ответ: 2.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
По клеткам горизонтальное и вертикальное расстояния между точками равны 6 и 8.
Ищем расстояние по теореме Пифагора.
d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Ответ: 10.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Неверно: сумма всех углов 180°.
3) Верно.
Ответ: 3.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}-6=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=\frac{1}{x}\).
Шаг 1. После замены уравнение принимает вид:
\(t^2-t-6=0\).
Шаг 2. Разложим на множители: \((t-3)(t+2)=0\).
Корни: \(t_1=3\), \(t_2=-2\).
Шаг 3. Обратная замена:
Если \(t=3\): \(x=\dfrac{1}{3}\).
Если \(t=-2\): \(x=-\dfrac{1}{2}\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne0\) — оба корня подходят.
Ответ: \(-\dfrac{1}{2};\quad \dfrac{1}{3}\).
Правильный ответ: -1/2;1/3
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 км/ч, за 39 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина поезда = относительная скорость × время наблюдения (в метрах и секундах).
Шаг 1. Поезд и пешеход движутся в одном направлении. Относительная скорость:
63 − 3 = 60 км/ч.
Шаг 2. Переводим в м/с: 60 × 1000 / 3600 = \(\frac{50}{3}\) м/с.
Шаг 3. Поезд полностью минует пешехода за 39 с, значит его длина:
\(\frac{50}{3}\) × 39 = 650 м.
Ответ: 650.
Правильный ответ: 650
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \( y=\dfrac{(x^2+6,25)((x-1))}{1-x} \). Определите, при каких значениях k прямая \( y=kx \) имеет с графиком ровно одну общую точку.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.
После сокращения получаем \( y=-(x^2+6,25),\ x\ne 1 \).
После сокращения получаем параболу \( y=-(x^2+a) \), но точка при \( x=1 \) выколота. Прямая \( y=kx \) имеет одну общую точку в трёх случаях: касается параболы в вершине; проходит через выколотую точку и ещё пересекает график один раз; проходит через выколотую точку как касательная к полной параболе.
Из анализа пересечений с прямой \( y=kx \) получаем: \( k=-7,25; -5; 5 \).
Ответ: \( -7,25; -5; 5 \).
Правильный ответ: -7,25; -5; 5
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Окружности
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB = 36, CD = 48, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 24.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: перпендикуляр из центра на хорду делит её пополам — применяем теорему Пифагора.
Шаг 1. Для хорды AB: перпендикуляр из центра = 24, полухорда = AB/2 = 18.
R² = 24² + 18² = 576 + 324 = 900. R = 30.
Шаг 2. Для хорды CD: полухорда = CD/2 = 24.
d² = R² − 24² = 900 − 576 = 324. d = 18.
Ответ: 18.
Правильный ответ: 18
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти два равных угла у треугольников CBD и BDA.
Шаг 1. BC ∥ AD ⟹ ∠CBD = ∠BDA (накрест лежащие при секущей BD).
Шаг 2. Проверим соотношение сторон: BC/BD = \(\frac{5}{15}\) = \(\frac{1}{3}\), BD/AD = \(\frac{15}{45}\) = \(\frac{1}{3}\).
BD² = 15² = 225 = 5·45 = BC·AD. Значит BC/BD = BD/AD.
Шаг 3. Угол ∠CBD = ∠BDA (Шаг 1), а смежные стороны пропорциональны (Шаг 2).
По признаку подобия «угол и прилежащие стороны» △CBD ∼ △BDA. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точки касания общих касательных и центры окружностей образуют прямоугольники.
Шаг 1. Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей радиусов r=42 и R=84.
O₁O₂ = r + R = 126 (внешнее касание).
Шаг 2. AC — общая внешняя касательная. O₁A ⊥ AC и O₂C ⊥ AC.
Точки A и C — основания перпендикуляров из центров на касательную.
Шаг 3. AB — хорда первой окружности, перпендикулярная AC (AB ⊥ O₁O₂).
Аналогично CD ⊥ O₁O₂.
Шаг 4. Расстояние между AB и CD = проекция O₁O₂ на перпендикулярное направление.
По теореме Пифагора в трапеции: dist = 2√(Rr) = 2√(84·42) = 2√3528 = 84√2.
Ответ: 84√2.
Правильный ответ: 84√2
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.