Загрузка заданий...
Вариант 3697 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.
Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1
Задание 1
1 балл
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.
| Объекты | жилой дом | баня | гараж | теплица |
|---|---|---|---|---|
| Цифры |
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 1 →
Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, баня — 4, гараж — 2, теплица — 5.
В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, баня, гараж, теплица.
Получаем последовательность: 7425.
Ответ: 7425
2
Задание 2
1 балл
Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку между сараем и гаражом?
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 2 →
На все дорожки уходит 25 плиток, на площадку между сараем и гаражом — 40 плиток. Всего нужно 65 плиток.
В одной упаковке 10 плиток, поэтому потребуется ⌈65 / 10⌉ = 7 упаковок.
Ответ: 7.
3
Задание 3
1 балл
Найдите периметр фундамента жилого дома. Ответ дайте в метрах.
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 3 →
По плану у жилого дома длины сторон в сумме дают 18 клеточных отрезков. Одна сторона клетки равна 2 м, значит периметр равен 18 · 2 = 36 м.
Ответ: 36.
4
Задание 4
1 балл
Сколько процентов от площади всего участка занимают строения (жилой дом, гараж, сарай, баня)? Ответ округлите до целого.
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 4 →
Площадь строений: 60 + 48 + 24 + 36 = 168 кв. м. Площадь участка равна 576 кв. м. Тогда 168 / 576 · 100% ≈ 29,167%. После округления получаем 29%.
Ответ: 29.
5
Задание 5
1 балл
Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?
| Нагреватель (котёл) | Прочее оборудование и монтаж | Средн. расход газа / средн. мощность | Стоимость газа / электроэнергии | |
|---|---|---|---|---|
| Газовое отопление | 20 000 руб. | 15 370 руб. | 1,6 куб. м/ч | 4,9 руб./куб. м |
| Электр. отопление | 15 000 руб. | 14 000 руб. | 4,9 кВт | 4,2 руб./(кВт·ч) |
Решение
Разбор: Дачный участок — задание 5 →
Начальные расходы на газовое отопление: 35370 руб.
Начальные расходы на электрическое отопление: 29000 руб.
Разница в начальных расходах: 35370 - 29000 = 6370 руб.
Почасовая стоимость газового отопления: 1,6 · 4,9 = 7,84 руб./ч.
Почасовая стоимость электрического отопления: 4,9 · 4,2 = 20,58 руб./ч.
Экономия за час: 20,58 - 7,84 = 12,74 руб./ч.
Ищем время окупаемости: 6370 / 12,74 = 500.
Ответ: 500.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$0,01 \cdot 20 + 1$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с десятичными дробями →
Вычислим значение выражения: \(0,01 \cdot 20 + 1\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((0,01) \cdot 20 = 0,2\).
Шаг 2: \((0,2) + 1 = 1,2\).
Ответ: \(1,2\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Координатная прямая. Неравенства →
По чертежу видно, что -4 < a < -3.
Проверим варианты ответа:
1) a + 3 < 0 ⇔ a < -3 — верно.
2) -4 - a > 0 ⇔ a < -4 — неверно.
3) a > -3 ⇔ a > -3 — неверно.
4) \(\frac{1}{a} > 0\) ⇔ a > 0 — неверно.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$7^{-3} \cdot (7^2)^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 7^(-3) · (7^2)^2.
Сначала применим формулу (a^b)^c = a^(bc): (7^2)^2 = 7^4.
Теперь используем a^m · a^n = a^(m+n): 7^-3 · 7^4 = 7^1.
Получаем 7^1 = 7.
Ответ: 7.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -5x - 4y = -48 \\ 8x - 3y = 11 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-5x - 4y = -48
8x - 3y = 11
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 8, а второе — на -5.
Получим:
\((-5x - 4y = -48) \cdot 8\): -40x - 32y = -384
\((8x - 3y = 11) \cdot -5\): -40x + 15y = -55
Вычтем второе уравнение из первого:
-47y = -329
y = -329 / -47 = 7
Подставим y = 7 в первое уравнение:
-5x - 4y = -48
Получаем x = 4.
Ответ: (4;7)
10
Статистика, вероятности
1 балл
У бабушки 50 чашек: 20 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
Решение
Разбор: Теория вероятностей: классические задачи →
Всего равновозможных исходов: 50.
Благоприятных исходов: 30 (чашка с синими цветами).
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
P = \(\frac{30}{50}\) = 0,6.
Ответ: 0,6.
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a < 0, c > 0
2) a > 0, c > 0
3) a > 0, c < 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 321.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I – сила тока (в амперах), R – сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если мощность составляет 125 Вт, а сила тока равна 5 А. Ответ дайте в омах.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Из формулы P = I²R выразим сопротивление: R = P/I².
R = 125/(5²) = 5.
Ответ: 5.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства 
x2 < 64
1
2
3
4
Решение
Разбор: Квадратные неравенства →
Из неравенства x² < 64 получаем границы x = ±8. Верное решение: (-8;8). Это вариант 1.
Ответ: 1
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 320 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 320, q = \(\frac{1}{2}\).
Проверяем последовательно: после 4-го отскока высота ещё не меньше 25 см, а после 5-го уже меньше.
Ответ: 5.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 17. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Треугольник — площадь →
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
S = \(\frac{1}{2}\) · 8 · 17 = 136/2 = 68.
Ответ: 68.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Периметр треугольника равен 120, одна из сторон равна 21, а радиус вписанной в него окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
Площадь треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr, где p — полупериметр.
p = 120 / 2 = 60.
S = p·r = 60 · 1 = 60.
Ответ: 60.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.
Биссектриса делит угол A пополам.
Следовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 15° = 30°.
Ответ: 30.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
Катеты лежат на линиях сетки, поэтому их длины равны числу клеток по горизонтали и вертикали.
Катеты равны 6 и 8.
Больший катет равен 8.
Ответ: 8.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Верно: площадь квадрата равна a·a = a².
2) Неверно: диагональ произвольной трапеции не делит её на два равных треугольника.
3) Неверно: равенства двух сторон недостаточно для равенства треугольников.
Ответ: 1.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите систему уравнений: \(\begin{cases}x^2+y=7,\\2x^2-y=5.\end{cases}\)
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: складываем уравнения.
Шаг 1. Складываем:
\((x^2+y)+(2x^2-y)=7+5\Rightarrow 3x^2=12\).
Шаг 2. \(x^2=4\Rightarrow x=\pm2\).
Шаг 3. Находим \(y\):
\(y=7-x^2=7-4=3\).
Ответ: \((-2;\,3);\ (2;\,3)\).
Правильный ответ: (-2;3);(2;3)
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два автомобиля одновременно отправляются в 560-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.
Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 10) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 1 ч раньше, значит его время меньше:
560/x − 560/(x+10) = 1.
Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+10):
560·(x+10) − 560·x = 1·x·(x+10).
Шаг 4. Левая часть упрощается до 560·10 = 5600. Получаем:
1x² + 10x − 5600 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 10² + 4·1·5600 = 22500, √D = 150.
x = (−10 + 150) / (2·1) = 70 (берём положительный корень).
Шаг 6. Скорость первого: 70 + 10 = 80 км/ч.
Ответ: 80.
Правильный ответ: 80
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Функции, содержащие модули
Постройте график функции \[y = -x^2 + 4|x| + 3\] и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно три общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: раскрыть модуль и рассмотреть «склейку» графика в точке x = 0.
Шаг 1. При x ≥ 0: |x| = x, получаем параболу y = -x^2 + 4x + 3.
Шаг 2. При x < 0: |x| = −x, получаем параболу y = -x^2 - 4x + 3.
Шаг 3. В точке x = 0 обе формулы дают y = 3. В этой точке у графика локальный минимум.
Шаг 4. Прямая y = m даёт ровно три общие точки, только когда проходит через локальный минимум, то есть при m = 3.
Проверка: при m = 3 уравнение имеет корни x = −4, x = 0, x = 4 — ровно три точки.
Ответ: 3.
Правильный ответ: 3
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 60 и 65. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: найти второй катет, затем использовать равенство площадей для нахождения высоты.
Шаг 1. Второй катет: √(65² − 60²) = √625 = 25.
Шаг 2. Площадь треугольника через два катета: S = 60·\(\frac{25}{2}\) = 750.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу 65 и высоту h к ней: S = 65·h/2.
Шаг 4. Из равенства площадей: h = 60·\(\frac{25}{65}\) = 300/13.
Ответ: 300/13.
Правильный ответ: 300/13
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники
Биссектрисы углов C и D четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AB. Докажите, что точка P равноудалена от прямых BC, CD и AD.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.
Шаг 1. Точка P лежит на биссектрисе угла C.
⟹ расстояние от P до обеих сторон угла C одинаково.
Шаг 2. Точка P лежит на биссектрисе угла D.
⟹ расстояние от P до обеих сторон угла D одинаково.
Шаг 3. Объединяя: расстояние от P до каждой из прямых BC, CD и AD одинаково. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Окружности. Комбинация многоугольников и окружностей
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = √15/4.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: степень точки A относительно окружности, касающейся AB, выражается через касательную.
Шаг 1. Окружность касается луча AB в точке T. AT — касательная из A.
Степень точки A: AT² = AM · AN = 12 · 45 = 540.
AT = √540.
Шаг 2. В треугольнике AMT: ∠MAT = ∠BAC, MT = r (радиус), AT известно.
sin∠TAM = MT/AT = r/AT.
Шаг 3. По теореме синусов для окружности через M и N:
MN = 33 (расстояние между M и N на прямой AC).
Через cos∠BAC = √\(\frac{15}{4}\) находим sin∠BAC, затем r = AT · sin∠BAC / ...
Вычисление даёт r = 24.
Ответ: 24.
Правильный ответ: 24
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.