Загрузка заданий...

Вариант 3857 — ОГЭ по математике

Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.

25 заданий 1–19: 1 балл 20–25: 2 балла Обновляется еженедельно

↻

Вариант текущей недели Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19.

Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота. При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом.

Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри. Огород отмечен на плане цифрой 6. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой. К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1 Задание 1 1 балл

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр без дополнительных символов.

Объекты	жилой дом	яблони	теплица	гараж
Цифры

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 1 →

Сопоставляем описание объектов и их расположение на плане: жилой дом — 7, яблони — 3, теплица — 5, гараж — 2.

В таблице объекты стоят в порядке: жилой дом, яблони, теплица, гараж.

Получаем последовательность: 7352.

Ответ: 7352

2 Задание 2 1 балл

Плитки для садовых дорожек продаются в упаковках по 6 штук. Сколько упаковок плиток понадобилось, чтобы выложить все дорожки?

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 2 →

На все дорожки нужно 25 плиток.

В одной упаковке 6 плиток, поэтому потребуется ⌈25 / 6⌉ = 5 упаковок.

Ответ: 5.

3 Задание 3 1 балл

Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 3 →

Баня занимает 9 клеток. Площадь одной клетки равна 2 · 2 = 4 кв. м. Значит площадь бани: 9 · 4 = 36 кв. м.

Ответ: 36.

4 Задание 4 1 балл

На сколько процентов площадь, которую занимает теплица, меньше площади, которую занимает гараж?

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 4 →

Разность площадей: 48 - 12 = 36. Сравниваем с площадью гаража: (48 - 12) / 48 · 100% = 75%.

Ответ: 75.

5 Задание 5 1 балл

	Нагреватель (котёл)	Прочее оборудование и монтаж	Средн. расход газа / средн. мощность	Стоимость газа / электроэнергии
Газовое отопление	25 000 руб.	17 552 руб.	1,3 куб. м/ч	5,2 руб./куб. м
Электр. отопление	21 000 руб.	15 000 руб.	5,2 кВт	4,1 руб./(кВт·ч)

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое отопление. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разницу в стоимости покупки и установки газового и электрического оборудования?

Решение

Разбор: Дачный участок — задание 5 →

Начальные расходы на газовое отопление: 42552 руб.

Начальные расходы на электрическое отопление: 36000 руб.

Разница в начальных расходах: 42552 - 36000 = 6552 руб.

Почасовая стоимость газового отопления: 1,3 · 5,2 = 6,76 руб./ч.

Почасовая стоимость электрического отопления: 5,2 · 4,1 = 21,32 руб./ч.

Экономия за час: 21,32 - 6,76 = 14,56 руб./ч.

Ищем время окупаемости: 6552 / 14,56 = 450.

Ответ: 450.

6 Числа и вычисления 1 балл

Найдите значение выражения $$0,05 + 87,5$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.

Решение

Разбор: Действия с десятичными дробями →

Вычислим значение выражения: $0,05 + 87,5$.

Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Шаг 1: $(0,05) + 87,5 = 87,55$.

Ответ: $87,55$.

7 Числовые неравенства, координатная прямая 1 балл

На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.

$\frac{1}{a} < 0$

a - 8 < 0

-a < -9

a < 9

Решение

Разбор: Координатная прямая. Неравенства →

По чертежу видно, что 8 < a < 9.

Проверим варианты ответа:

1) $\frac{1}{a} < 0$ ⇔ a < 0 — неверно.

2) a - 8 < 0 ⇔ a < 8 — неверно.

3) -a < -9 ⇔ a > 9 — неверно.

4) a < 9 ⇔ a < 9 — верно.

Правильный ответ: 4.

Ответ: 4

8 Числа, вычисления и алгебраические выражения 1 балл

Найдите значение выражения $$(\sqrt{150} + \sqrt{6})\sqrt{6}$$

Решение

Разбор: Действия со степенями и корнями →

Вычислим выражение: (√150 + √6)·√6.

Вынесем полные квадраты из-под корня: √150 = 5√6, √6 = 1√6.

Тогда получаем (5√6 + 1√6)·√6 = 6√6·√6.

Так как √6·√6 = 6, имеем 6·6 = 36.

Ответ: 36.

9 Уравнения, системы уравнений 1 балл

Решите уравнение: $$\frac{8}{x + 4} = 2$$

Решение

Разбор: Рациональное уравнение →

Решим уравнение: 8/(x + 4) = 2

Область допустимых значений: x != -4.

Умножим обе части уравнения на x + 4:

8 = 2(x + 4)

Раскроем скобки:

8 = 2x + 8

Перенесём число в левую часть:

0 = 2x

x = 0 / 2

x = 0

Проверка ОДЗ: x = 0, x != -4, условие выполняется.

Ответ: 0

10 Статистика, вероятности 1 балл

На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий $A$ и $B$ в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события A.

Решение

Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →

Всего исходов: 30. Вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.

$P=12/30=0,4$.

Ответ: 0,4

11 Графики функций 1 балл

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функции

А) $y = -3x - 4$

Б) $y = 3x - 4$

В) $y = x$

Графики

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение

Разбор: Линейные функции. Графики →

Сопоставляем наклон и точку пересечения с осью Oy для каждой формулы. Ответ: 231.

12 Расчёты по формулам 1 балл

Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с² – ускорение свободного падения, а V – объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,4 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.

Решение

Разбор: Расчёты по формулам →

Подставим V = 0,4 в формулу F = ρgV.

F = 1000·9,8·0,4 = 3 920.

Ответ: 3 920.

13 Неравенства, системы неравенств 1 балл

Укажите решение неравенства

x² ≤ 16

Решение

Разбор: Квадратные неравенства →

Из неравенства x² <= 16 получаем границы x = ±4. Верное решение: [-4;4]. Это вариант 1.

Ответ: 1

14 Задачи на прогрессии 1 балл

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,3 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,3 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10 секунд движения?

Решение

Разбор: Задачи на арифметическую прогрессию →

Это арифметическая прогрессия: a₁ = 0,3, d = 0,3, n = 10.

Сумма первых 10 членов: S = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 = 16,5.

Ответ: 16,5.

15 Треугольники и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg B = 8/5, BC = 20. Найдите AC.

Решение

Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →

В прямоугольном треугольнике tg B = AC / BC.

Значит, AC = BC · tg B = 20 · $\frac{8}{5}$ = 32.

Ответ: 32.

16 Окружность, круг и их элементы 1 балл

В треугольнике ABC известно, что AC = 6, BC = 8, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение

Разбор: Окружность — описанные окружности →

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы.

По теореме Пифагора AB = 10.

Следовательно, R = AB / 2 = 10 / 2 = 5.

Ответ: 5.

17 Четырёхугольники, многоугольники и их элементы 1 балл

Периметр ромба равен 72, а один из углов равен 30°. Найдите площадь этого ромба.

Решение

Разбор: Четырёхугольники — квадрат, прямоугольник, ромб →

Сторона ромба равна 72 / 4 = 18.

Площадь ромба равна a²·sin α.

S = 18² · sin 30° = 18² · $\frac{1}{2}$ = 162.

Ответ: 162.

18 Фигуры на квадратной решётке 1 балл

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение

Разбор: Фигуры на квадратной решётке — четырёхугольники →

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

По клеткам основания равны 2 и 8.

m = (2 + 8) / 2 = 5.

Ответ: 5.

19 Анализ геометрических высказываний 1 балл

Какое из следующих утверждений верно?

Все углы ромба равны.

Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

Решение

Разбор: Анализ геометрических высказываний →

1) Неверно: все углы ромба равны только у квадрата.

2) Неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует их равенство.

3) Верно: из точки вне окружности можно провести две касательные.

Ответ: 3.

20 Уравнения, неравенства и их системы 2 балла

Решите систему уравнений: $\begin{cases}9x^2-14x=y,\\9x-14=y.\end{cases}$

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: оба выражения равны $y$ — приравниваем их.

Шаг 1. Приравниваем правые части: $9x^2-14x=9x-14$.

Шаг 2. Переносим влево: $9x^2-23x+14=0$.

Шаг 3. Разложим: $(9x-14)(x-1)=0$.

Корни: $x=\dfrac{14}{9}$ или $x=1$.

Шаг 4. Находим $y$:

При $x=\dfrac{14}{9}$: $y=9\cdot\dfrac{14}{9}-14=0$.

При $x=1$: $y=9-14=-5$.

Ответ: $\left(\dfrac{14}{9};\,0\right);\ (1;\,-5)$.

Правильный ответ: (14/9;0);(1;-5)

Критерии оценивания задания 20

Поставь себе балл:

0 1 2

21 Текстовые задачи 2 балла

Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: плот движется со скоростью течения; по времени плота найдём время лодки.

Шаг 1. Скорость плота = скорость течения = 5 км/ч.

Шаг 2. Плот за время плавания лодки (с момента старта плота) проплыл 30 км.

Время плота в пути: 30 / 5 = 6 ч.

Шаг 3. Лодка вышла на 1 ч позже, значит время лодки в пути:

6 − 1 = 5 ч.

Шаг 4. Пусть скорость лодки в тихой воде = x км/ч. Уравнение на время туда-обратно:

60/(x+5) + 60/(x−5) = 5.

Шаг 5. Умножаем на (x+5)(x−5) и упрощаем: квадратное уравнение.

Шаг 6. Решение: x = 25.

Шаг 7. Проверка: 2 + 3 = 5. ✓

Ответ: 25.

Правильный ответ: 25

Критерии оценивания задания 21

Поставь себе балл:

0 1 2

22 Функции и их свойства. Графики функций 2 балла

Постройте график функции $ y=\dfrac{(x^2+0,25)((x+1))}{-1-x} $. Определите, при каких значениях k прямая $ y=kx $ имеет с графиком ровно одну общую точку.

✏ Выполни решение на бумаге

Построенный график функции

Сократим дробь, учитывая, что в точке, обращающей знаменатель в ноль, график имеет выколотую точку.

После сокращения получаем $ y=x^2+0,25,\ x\ne -1 $.

После преобразования получаем параболу $ y=x^2+a $ с выколотой точкой при $ x=-1 $.

Из анализа пересечений с прямой $ y=kx $ получаем: $ k=-1; 1; 1,25 $.

Ответ: $ -1; 1; 1,25 $.

Правильный ответ: -1; 1; 1,25

Критерии оценивания задания 22

Поставь себе балл:

0 1 2

23 Геометрические задачи на вычисление 2 балла

Геометрические задачи на вычисление. Окружности

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 4, AC = 10.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: центр O лежит на AC, касание в B — значит OB ⊥ AB, OB = r.

Шаг 1. Пусть центр O делит AC: AO = AC − r (т.к. O на AC и окружность проходит через C, OC = r).

Шаг 2. △AOB прямоугольный (∠ABО = 90°, т.к. OB ⊥ AB).

AB² + r² = AO² = (AC − r)².

4² + r² = (10 − r)².

16 + r² = 100 − 20r + r².

20r = 100 − 16 = 84.

r = $\frac{84}{20}$ = 4.2.

Шаг 3. D = 2r = $\frac{84}{10}$ = 8,4.

Ответ: 8,4.

Правильный ответ: 8,4

Критерии оценивания задания 23

Поставь себе балл:

0 1 2

24 Геометрические задачи на доказательство 2 балла

Геометрические задачи на доказательство. Четырёхугольники

Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы углов B и C перпендикулярны — треугольник при их пересечении прямоугольный.

Шаг 1. В параллелограмме ∠B + ∠C = 180° (смежные).

Биссектрисы делят углы пополам: ∠B/2 + ∠C/2 = 90°.

Значит в △M (треугольник при пересечении биссектрис) угол при M равен 90°.

Шаг 2. Рассмотрим одну из биссектрис, например от угла B.

Она отсекает равнобедренный треугольник (два угла при основании равны),

значит расстояние от вершины до M равно половине смежной стороны.

Шаг 3. Из симметричных рассуждений для обеих биссектрис получаем M — середина AD. ∎

Правильный ответ: доказательство

Критерии оценивания задания 24

Поставь себе балл:

0 1 2

25 Геометрические задачи повышенной сложности 2 балла

Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3.

✏ Выполни решение на бумаге

Идея: биссектрисы смежных углов параллелограмма — свойство равноудалённости — дают высоту.

Шаг 1. Углы A и B смежные: ∠A + ∠B = 180°.

Биссектрисы делят их пополам: ∠KAB + ∠KBA = 90°.

В △AKB угол при K = 90°, то есть AK ⊥ BK.

Шаг 2. K лежит на биссектрисе угла A:

dist(K, AB) = dist(K, AD) = 3.

Шаг 3. K лежит на биссектрисе угла B:

dist(K, AB) = dist(K, BC) = 3.

Шаг 4. Расстояние между сторонами AD и BC:

dist(AD, BC) = dist(K, AD) + dist(K, BC) = 3 + 3 = 6.

Шаг 5. Площадь = BC · dist(AD, BC) = 7 · 6 = 42.

Ответ: 42.

Правильный ответ: 42

Критерии оценивания задания 25

Поставь себе балл:

0 1 2

Что делать после варианта

Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.