Загрузка заданий...
Вариант 3888 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 185/70 R14.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 225.
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 185/65 R15?
Решение
Разбор: Шины →
В маркировке 185/65 R15 ширина шины равна 185 мм, а высота боковины составляет 65% от ширины. H = 185 · 65 / 100 = 120.25 мм. Ответ: 120.25.
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/50 R16?
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и нового колеса 215/50 R16. Ответ: 6.8.
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 185/70 R14 получаем диаметр 614.6 мм. Ответ: 614.6.
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 205/55 R15? Результат округлите до десятых.
Решение
Разбор: Шины →
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 185/70 R14 и колеса 205/55 R15, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.3.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{4}{1} - \frac{8}{5}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{4}{1} - \frac{8}{5}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{4}{1}) - \frac{8}{5} = \frac{12}{5}\).
Получили дробь \(\frac{12}{5}\).
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(2,4\).
Ответ: \(2,4\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число -1,33?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число -1,33 по своему значению совпадает с точкой A.
Правильный ответ: 1.
Ответ: 1
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$(7\sqrt{7})^2$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: (7√7)².
Используем свойство степени произведения: (7√7)² = 7² · (√7)².
Получаем 49 · 7 = 343.
Ответ: 343.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -8x - 4y = -56 \\ 7x + 7y = 35 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-8x - 4y = -56
7x + 7y = 35
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 7, а второе — на -8.
Получим:
\((-8x - 4y = -56) \cdot 7\): -56x - 28y = -392
\((7x + 7y = 35) \cdot -8\): -56x - 56y = -280
Вычтем второе уравнение из первого:
28y = -112
y = -112 / 28 = -4
Подставим y = -4 в первое уравнение:
-8x - 4y = -56
Получаем x = 9.
Ответ: (9;-4)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события \(A \cap B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Всего исходов: 32. Вероятность события \(A \cap B\) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
\(P=2/32=0,0625\).
Ответ: 0,0625
11
Графики функций
1 балл
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) \(y = -3x^2 + 9x - 4\)
Б) \(y = -\dfrac{6}{x}\)
В) \(y = \dfrac{2}{3}x - 5\)
ГРАФИКИ
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Графики разных функций →
Определяем тип каждого графика: прямая, парабола, гипербола или график корня. Затем сопоставляем по форме, направлению ветвей и характерным точкам пересечения с осями. Получаем ответ: 123.
Ответ: 123
12
Расчёты по формулам
1 балл
Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой tF = 1,8tC + 32, где tC – температура в градусах Цельсия, tF – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует 40 градусов по шкале Цельсия?
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим t_C = 40 в формулу t_F = 1,8t_C + 32.
t_F = 1,8·(40) + 32 = 104.
Ответ: 104.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение системы неравенств:
$$\begin{cases} 3x + 1,8 < 3,6 \\ 6x + 0,6 > 4,2 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Системы неравенств — выбор решения →
Решаем каждое неравенство отдельно и пересекаем полученные промежутки. Итоговое решение системы: нет решений. Это вариант 2.
Ответ: 2
14
Задачи на прогрессии
1 балл
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 9 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 160 мг. Найдите массу изотопа через 36 минут. Ответ дайте в миллиграммах.
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Масса образует геометрическую прогрессию с первым членом 160 и знаменателем \(\frac{1}{2}\).
За 36 минут пройдёт 4 промежутков по 9 минут.
Тогда масса станет равна 160·(\(\frac{1}{2}\))^4 = 10 мг.
Ответ: 10.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 72, AB = 75. Найдите cos B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.
cos B = BC / AB = \(\frac{72}{75}\) = 0,96.
Ответ: 0,96.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Четырёхугольник ABCD описан около окружности, AB = 9, BC = 15, CD = 11. Найдите AD.
Решение
Разбор: Окружность — вписанные окружности →
В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.
То есть AB + CD = BC + AD.
AD = AB + CD - BC = 9 + 11 - 15 = 5.
Ответ: 5.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 62°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — трапеция →
Угол A равен 180° - 62° = 118°.
Так как AC — биссектриса, ∠CAD = 118° / 2 = 59°.
В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° - 59° - 62° = 59°.
Ответ: 59.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — отрезки и окружности →
Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса.
По клеткам радиусы кругов равны 6 и 2.
Искомое отношение площадей равно (6 / 2)² = 9.
Ответ: 9.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Неверно: cos α = прилежащий катет / гипотенуза.
3) Верно.
Ответ: 3.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \(\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x}-10=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: замена \(t=\frac{1}{x}\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+3t-10=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t+5)(t-2)=0\).
Корни: \(t_1=-5\), \(t_2=2\).
Шаг 3. Обратная замена:
Если \(t=-5\): \(x=-\dfrac{1}{5}\).
Если \(t=2\): \(x=\dfrac{1}{2}\).
Шаг 4. ОДЗ: \(x\ne0\) — оба корня подходят.
Ответ: \(-\dfrac{1}{5};\quad \dfrac{1}{2}\).
Правильный ответ: -1/5;1/2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два автомобиля одновременно отправляются в 720-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: составить уравнение на время движения, используя формулу t = S/v.
Шаг 1. Пусть скорость второго автомобиля равна x км/ч, тогда скорость первого — (x + 30) км/ч.
Шаг 2. Первый прибывает на 4 ч раньше, значит его время меньше:
720/x − 720/(x+30) = 4.
Шаг 3. Умножаем обе части на x·(x+30):
720·(x+30) − 720·x = 4·x·(x+30).
Шаг 4. Левая часть упрощается до 720·30 = 21600. Получаем:
4x² + 120x − 21600 = 0.
Шаг 5. Дискриминант: D = 120² + 4·4·21600 = 360000, √D = 600.
x = (−120 + 600) / (2·4) = 60 (берём положительный корень).
Шаг 6. Скорость первого: 60 + 30 = 90 км/ч.
Ответ: 90.
Правильный ответ: 90
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x^2+6x+7,& x\ge -4,\\x+10,& x<-4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {-2}∪(-1;6).
Ответ: {-2}∪(-1;6).
Правильный ответ: {-2}∪(-1;6)
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Катеты прямоугольного треугольника равны 42 и 144. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: выразить высоту к гипотенузе через площадь, вычисленную двумя способами.
Шаг 1. Находим гипотенузу: c = √(42² + 144²) = √22500 = 150.
Шаг 2. Площадь треугольника через катеты: S = 42·144/2 = 3024.
Шаг 3. Площадь через гипотенузу и высоту h: S = 150·h/2.
Шаг 4. Приравниваем: 150·h/2 = 3024 ⟹ h = 42·144/150 = 40,32.
Ответ: 40,32.
Правильный ответ: 40,32
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В треугольнике ABC с тупым углом C проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что треугольники A₁CB₁ и ACB подобны.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: подобие через два прямоугольных треугольника.
Шаг 1. AA₁ ⊥ BC ⟹ ∠CA₁A = 90°; BB₁ ⊥ AC ⟹ ∠CB₁B = 90°.
Шаг 2. Угол C тупой, поэтому основания A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон CB и CA за вершину C. Значит ∠A₁CB₁ = ∠ACB как вертикальные углы.
Шаг 3. Прямоугольные △CAA₁ и △CBB₁ имеют равные острые углы при C, поэтому подобны. Отсюда CA₁ : CA = CB₁ : CB.
Шаг 4. У △A₁CB₁ и △ACB угол при C равен (∠A₁CB₁ = ∠ACB), а прилежащие стороны пропорциональны. По второму признаку подобия △A₁CB₁ ∼ △ACB. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 44. Найдите стороны треугольника ABC.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биссектриса BE оказывается высотой во вспомогательном треугольнике ABD.
Шаг 1. Точка D лежит на BC, поэтому BE делит угол ABD пополам; по условию BE ⊥ AD.
Биссектриса треугольника ABD, перпендикулярная стороне AD, является в нём также высотой и медианой ⟹ △ABD равнобедренный: BA = BD.
Так как D — середина BC, то BD = BC/2, поэтому BC = 2·AB.
Шаг 2. Пусть O = AD ∩ BE. Возьмём O = (0, 0), ось x — вдоль AD: A = (−22, 0), D = (22, 0) (|AD| = 44).
В равнобедренном △ABD высота BO попадает в середину AD, поэтому B = (0, −h), где h = BO.
Шаг 3. D — середина BC ⟹ C = 2D − B = (44, h). На прямой BE точка E = (0, 44 − h), так как BE = 44.
Шаг 4. Условие «E лежит на AC» даёт h = 3·\(\frac{44}{4}\) = 33.
Шаг 5. AB = √(h² + (22)²) = √(1089 + 484) = 11√13;
BC = 2·AB = 22√13; CA = 33√5.
Ответ: 11√13; 22√13; 33√5.
Правильный ответ: 11√13; 22√13; 33√5
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.