Загрузка заданий...
Вариант 4024 — ОГЭ по математике
Это тренировочный вариант ОГЭ по математике. Реши задания, в конце нажми “Проверить экзамен”, а потом разбери ошибки. Решение можно открыть у отдельного задания.
↻
Вариант текущей недели
Эти демонстрационные варианты автоматически обновляются раз в неделю. До 15.11.2026 этот номер варианта останется таким же, а на следующей неделе станет новым.
Автомобильное колесо представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины в миллиметрах (размер B на рис. 2). Второе число — высота боковины шины H в процентах от ширины шины. Например, шина с маркировкой 195/65 R15 имеет ширину B = 195 мм и высоту боковины H = 195 · 0,65 = 126,75 мм. Буква R означает радиальную конструкцию шины. За буквой R следует диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4 мм). Общий диаметр колеса D можно найти, зная диаметр диска и высоту боковины.
Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами 205/55 R16.
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
1
Задание 1
1 балл
Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 17 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Смотрим в таблицу разрешённых размеров шин и выбираем подходящую ширину. Ответ: 215.
2
Задание 2
1 балл
Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 215/55 R17?
Решение
Разбор: Шины →
В маркировке 215/55 R17 ширина шины равна 215 мм, а высота боковины составляет 55% от ширины. H = 215 · 55 / 100 = 118.25 мм. Ответ: 118.25.
3
Задание 3
1 балл
На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 225/45 R17?
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и нового колеса 225/45 R17. Ответ: 2.4.
4
Задание 4
1 балл
Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение
Разбор: Шины →
Используем формулу диаметра колеса: D = d · 25,4 + 2H, где H — высота боковины шины. Для заводской маркировки 205/55 R16 получаем диаметр 631.9 мм. Ответ: 631.9.
5
Задание 5
1 балл
На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки 215/55 R16? Результат округлите до десятых.
Решение
Разбор: Шины →
Пробег за один оборот пропорционален длине окружности колеса, а значит, пропорционален диаметру. Сравниваем диаметр заводского колеса 205/55 R16 и колеса 215/55 R16, затем находим процентное изменение. Ответ: 1.7.
6
Числа и вычисления
1 балл
Найдите значение выражения $$\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3}$$
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
В ответ запишите результат в виде конечной десятичной дроби.
Решение
Разбор: Действия с обыкновенными дробями →
Вычислим значение выражения: \(\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3}\).
Соблюдаем порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание.
Шаг 1: \((\frac{9}{2}) \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{1}\).
Получили дробь 3.
Эта дробь равна конечной десятичной дроби \(3\).
Ответ: \(3\).
7
Числовые неравенства, координатная прямая
1 балл
Какой точке на координатной прямой соответствует число 1,157?
В ответе укажите номер правильного варианта.
Решение
Разбор: Числовые неравенства, координатная прямая. Числа на прямой →
Сравним положение точек на координатной прямой и значение данного числа.
Число 1,157 по своему значению совпадает с точкой B.
Правильный ответ: 2.
Ответ: 2
8
Числа, вычисления и алгебраические выражения
1 балл
Найдите значение выражения $$6\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{22}$$
Решение
Разбор: Действия со степенями и корнями →
Вычислим выражение: 6√11 · 2√2 · √22.
Перемножим коэффициенты: 6 · 2 = 12.
Подкоренные выражения дают: √11 · √2 · √22 = √(11·2·22) = √(484) = 22.
Тогда всё выражение равно 12 · 22 = 264.
Ответ: 264.
9
Уравнения, системы уравнений
1 балл
Решите систему уравнений: $$\begin{cases} -2x + 2y = -30 \\ 7x + 8y = 0 \end{cases}$$
Решение
Разбор: Система уравнений →
Решим систему:
-2x + 2y = -30
7x + 8y = 0
Исключим x. Для этого умножим первое уравнение на 7, а второе — на -2.
Получим:
\((-2x + 2y = -30) \cdot 7\): -14x + 14y = -210
\((7x + 8y = 0) \cdot -2\): -14x - 16y = 0
Вычтем второе уравнение из первого:
30y = -210
y = -210 / 30 = -7
Подставим y = -7 в первое уравнение:
-2x + 2y = -30
Получаем x = 8.
Ответ: (8;-7)
10
Статистика, вероятности
1 балл
На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий \(A\) и \(B\) в некотором случайном опыте. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятность события \(A \cap B\).
Решение
Разбор: Теория вероятностей: дерево случайного опыта и диаграмма Эйлера →
Всего исходов: 48. Вероятность события \(A \cap B\) равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
\(P=6/48=0,125\).
Ответ: 0,125
11
Графики функций
1 балл
На рисунке изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Графики
А) график 1
Б) график 2
В) график 3
Коэффициенты
1) a > 0, c < 0
2) a > 0, c > 0
3) a < 0, c > 0
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
| А | Б | В |
|---|---|---|
Решение
Разбор: Квадратичная функция. Графики →
Определяем знак a по направлению ветвей и знак c по пересечению с осью Oy, затем сопоставляем с вариантами. Ответ: 321.
12
Расчёты по формулам
1 балл
Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле W = CU2/2, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью 0,0002 фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 30 вольт. Ответ дайте в джоулях.
Решение
Разбор: Расчёты по формулам →
Подставим C = 0,0002 и U = 30 в формулу W = CU²/2.
W = 0,0002·30² / 2 = 0,09.
Ответ: 0,09.
13
Неравенства, системы неравенств
1 балл
Укажите решение неравенства:
3x - 1 > 2x - 3
Решение
Разбор: Линейные неравенства — выбор промежутка →
Решим неравенство: 3x - 1 > 2x - 3.
Перенесём все слагаемые с x влево, а числа вправо: 1x > -2.
Делим обе части на 1: x > -2.
Значит, x больше -2.
Этому соответствует промежуток (-2;+∞).
Правильный ответ: 4.
Ответ: 4
14
Задачи на прогрессии
1 балл
У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 630 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 25 см?
Решение
Разбор: Задачи на геометрическую прогрессию →
Высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию: b₁ = 630, q = \(\frac{1}{3}\).
Проверяем последовательно: после 3-го отскока высота ещё не меньше 25 см, а после 4-го уже меньше.
Ответ: 4.
15
Треугольники и их элементы
1 балл
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 9, AB = 20. Найдите cos B.
Решение
Разбор: Треугольник — синус, косинус, тангенс →
В прямоугольном треугольнике cos острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
Для угла B прилежащий катет — BC, гипотенуза — AB.
cos B = BC / AB = \(\frac{9}{20}\) = 0,45.
Ответ: 0,45.
16
Окружность, круг и их элементы
1 балл
Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 8/17. Диаметр описанной около него окружности равен 34. Найдите площадь прямоугольника.
Решение
Разбор: Окружность — описанные окружности →
Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника.
Значит, диагональ равна 34.
Если sin угла между стороной и диагональю известен, то можно найти вторую тригонометрическую функцию и катеты прямоугольного треугольника, образованного сторонами и диагональю.
После вычисления сторон получаем площадь 480.
Ответ: 480.
17
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
1 балл
Найдите острый угол параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 33°. Ответ дайте в градусах.
Решение
Разбор: Четырёхугольники — параллелограмм →
Так как BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и стороной BC равен углу между этой биссектрисой и AD.
Биссектриса делит угол A пополам.
Следовательно, острый угол параллелограмма равен 2 · 33° = 66°.
Ответ: 66.
18
Фигуры на квадратной решётке
1 балл
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение
Разбор: Фигуры на квадратной решётке — треугольники →
A и B — точки пересечения горизонтальной прямой со сторонами фигуры.
На уровне y=3: t=(7−3)/(7−1)=\(\frac{2}{3}\). x_A=3, x_B=5. AB=2.
Ответ: 2.
19
Анализ геометрических высказываний
1 балл
Какое из следующих утверждений верно?
Решение
Разбор: Анализ геометрических высказываний →
1) Неверно.
2) Неверно: cos α = прилежащий катет / гипотенуза.
3) Верно.
Ответ: 3.
20
Уравнения, неравенства и их системы
2 балла
Решите уравнение: \((x-2)^4+3(x-2)^2-10=0\).
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: биквадратное по \((x-2)\). Замена \(t=(x-2)^2\ge0\).
Шаг 1. После замены:
\(t^2+3t-10=0\).
Шаг 2. Разложим: \((t+5)(t-2)=0\).
Корни: \(t_1=-5\), \(t_2=2\).
Шаг 3. Так как \(t\ge0\), берём только \(t=2\). (Значение \(t=-5\) исключаем.)
Шаг 4. Решаем \((x-2)^2=2\):
\(x-2=\pm\sqrt{2}\Rightarrow x=2\pm\sqrt{2}\).
Ответ: \(2-\sqrt{2};\quad 2+\sqrt{2}\).
Правильный ответ: 2-√2;2+√2
Критерии оценивания задания 20
Поставь себе балл:
21
Текстовые задачи
2 балла
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 15 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: длина круга одинакова для обоих бегунов — составим уравнение.
Шаг 1. Пусть скорость первого бегуна равна x км/ч, тогда скорость второго: (x + 5) км/ч.
Шаг 2. За 1 час первый пробежал x км, а до конца круга ему осталось 1 км.
Длина круга = x + 1 км.
Шаг 3. Второй пробежал круг 15 мин назад, то есть за (1 − \(\frac{15}{60}\)) = 0,75 ч.
Длина круга = (x + 5) · 0,75 км.
Шаг 4. Приравниваем: x + 1 = (x + 5) · 0,75.
Шаг 5. Раскрываем и решаем: x = 11 км/ч.
Ответ: 11.
Правильный ответ: 11
Критерии оценивания задания 21
Поставь себе балл:
22
Функции и их свойства. Графики функций
2 балла
Постройте график функции \(\; y=\begin{cases}x-4,& x<3,\\-1{,}5x+4{,}5,& 3\le x\le 4,\\1{,}5x-7{,}5,& x>4.\end{cases}\) Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком две общие точки.
✏ Выполни решение на бумаге
Построенный график функции
Строим график по частям: отдельно для каждого промежутка берём соответствующую формулу, отмечаем включённые и выколотые точки на границах промежутков.
Далее рассматриваем горизонтальную прямую y = m и считаем количество её пересечений с построенным графиком на всех частях функции.
По анализу графика получаем: {-1,5}∪[-1;0].
Ответ: {-1,5}∪[-1;0].
Правильный ответ: {-1,5}∪[-1;0]
Критерии оценивания задания 22
Поставь себе балл:
23
Геометрические задачи на вычисление
2 балла
Геометрические задачи на вычисление. Треугольники
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 18, DC = 54, AC = 40.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: AB ∥ DC — треугольники ABM и CDM подобны по двум углам.
Шаг 1. Из подобия △ABM ∼ △CDM: AM/MC = AB/DC = \(\frac{18}{54}\) = \(\frac{1}{3}\).
Шаг 2. AC = AM + MC, причём AM : MC = 1 : 3.
Одна «часть» = AC / (3+1) = 40 / 4 = 10.
Шаг 3. MC = 3 · 10 = 30.
Ответ: 30.
Правильный ответ: 30
Критерии оценивания задания 23
Поставь себе балл:
24
Геометрические задачи на доказательство
2 балла
Геометрические задачи на доказательство. Треугольники
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что ∠AA₁C₁ = ∠ACC₁.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: показать, что точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 1. AA₁ — высота, поэтому ∠AA₁C = 90°. Значит из точки A₁ отрезок AC виден под прямым углом, и A₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 2. CC₁ — высота, поэтому ∠AC₁C = 90°. Значит и точка C₁ лежит на окружности с диаметром AC.
Шаг 3. Итак, точки A, C, A₁, C₁ лежат на одной окружности.
Шаг 4. Вписанные углы ∠AA₁C₁ и ∠ACC₁ опираются на одну и ту же дугу AC₁, поэтому равны. ∎
Правильный ответ: доказательство
Критерии оценивания задания 24
Поставь себе балл:
25
Геометрические задачи повышенной сложности
2 балла
Геометрические задачи повышенной сложности. Треугольники и четырёхугольники
Углы при одном из оснований трапеции равны 80° и 10°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 8 и 6. Найдите основания трапеции.
✏ Выполни решение на бумаге
Идея: при сумме углов при основании 90° — особые свойства средних линий трапеции.
Шаг 1. Углы 80° + 10° = 90° при одном основании.
При таком условии диагонали трапеции перпендикулярны.
Шаг 2. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции:
• Отрезок, соединяющий середины оснований = средняя линия = (a+b)/2.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон зависит от (b-a)/2.
Для данного случая: отрезки равны 8 и 6.
Шаг 3. Решаем: (a+b)/2 = 8 и (b-a)/2 = 6 (или наоборот).
a+b = 16, b-a = 12.
b = 14, a = 2.
Ответ: 2; 14.
Правильный ответ: 2; 14
Критерии оценивания задания 25
Поставь себе балл:
Заполнено 0 из 25
Что делать после варианта
- Много ошибок в заданиях 1–5 — посмотрите разбор заданий первой части.
- Просели вычисления и темы — откройте каталог заданий или темы ОГЭ.
- Не получается вторая часть — начните со второй части (задания 20–25).
- Частые ошибки по темам — типичные ошибки на ОГЭ.
- Хотите план — пройдите бесплатную диагностику.